几何代数与运动学问题解析

1、以方程 Ω = -2 ˜R ˙R 为起点，求双向量运动学方程的逆。换句话说，找到一个方程，给定一组旋转 Φ，能让你计算出引起这些旋转的角速度 Ω。

Ω = ˙Φ + ( (1 - cos|Φ|) / |Φ|² )⟨Φ ˙Φ⟩₂ - (1 / |Φ|²) (1 - (sin|Φ| / |Φ|) )[|Φ|² ˙Φ + (Φ · ˙Φ)Φ]

2、验证公式 1/2[e22′e33′]/((e · 2)(e · 2′)(3 · 3′)) = [e13]/[e12] × [e131′]/[e31′2′] × [11′22′]/((1 · 1′)(1 · 3)) 中所有因子的几何解释。

公式
$$
\frac{1}{2} \frac{[e22’e33’]}{(e \cdot 2)(e \cdot 2’)(3 \cdot 3’)} = \frac{[e13]}{[e12]} \times \frac{[e131’]}{[e31‘2’]} \times \frac{[11‘22’]}{(1 \cdot 1’)(1 \cdot 3)}
$$
的几何解释如下：

1. $ e \cdot 2 = e \cdot 2’ = -1 $；
2. $ 3 \cdot 3’ = d_{33’}^2 $，$ 1 \cdot 1’ = d_{11’}^2 $，$ 1 \cdot 3 = d_{13}^2 $；
3. $ [e131’] = 2S_{131’} $，$ [e31‘2’] = 2S_{31‘2’} $；
4. $ [e22’e33’] = -2(23 \times 2‘3’) $；
5. $ \frac{[e13]}{[e12]} = \frac{d_{13}}{d_{12}} \times \varepsilon_{123} $。

其中：

• $ S_{131’} $ 表示三角形 131′ 相对于平面定向的有向面积；