38、实验模态分析：原理与操作指南

最新推荐文章于 2025-10-07 10:46:55 发布

transformer2023

最新推荐文章于 2025-10-07 10:46:55 发布

阅读量54

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：振动测量实战指南文章标签：实验模态分析固有频率振动模式

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/transformer2023/article/details/151218076

振动测量实战指南专栏收录该内容

39 篇文章 ¥499.90

订阅专栏¥69.90

会员秒杀 ¥9.9 重磅福利

超级会员免费看

实验模态分析：原理与操作指南

1. 引言

在分析振动问题时，了解结构的固有频率、相关振动模式和各自的模态阻尼至关重要。实验模态分析是实现这一目标的重要方法，它并非分析软件中由单一函数实现的独立计算过程，而是一个包含测量方法和分析功能的过程。本文将聚焦于实验模态分析的实际操作执行和借助MATLAB®的实现。

2. 不同符号表示的对比

在模态分析领域，存在不同的符号表示。以下是一些常见符号在不同标准下的对比：
| 名称 | 按照DIN 1311的符号 | 替代拼写 | 来源 | 实验模态分析中的符号 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 质量 | m | m | | m |
| 弹簧常数 | k | k | | k |
| 阻尼常数 | d | c | 文献[4] | c |
| 位移 | x(t) | ξ | 文献[4] | x(t) |
| receptance, 动态柔度 | HxF | ndyn | 文献[4] | HxF |
| 导纳, 敏捷性, 流动性, 迁移率 | HvF | Y | 文献[4] | HvF |
| 加速度, 惯性, 加速度, 惯性 | HaF | acc | 文献[4] | HaF |
| 力 | F(t) | f(t) | 文献[3] | F(t) |

3. 实验模态分析的基本概念

3.1 假设和术语解释

模态：一个机械结构通常有多个固有频率和相关的振动模式。模态是指一个固有频率及其对应的振动模式，结构有第一模态、第二模态等，按固有频率的顺序排列。例如，（第一）扭转模态表示结构沿主轴扭转的最低（第一）扭转固有频率的振动模式；（第二）弯曲模态表示结构在第二弯曲固有频率下的弯曲振动模式。
重要假设 ：
- 正交性 ：特征函数正交，各模态相互独立。每个模态可看作一个单质量振荡系统（SDOF），具有一个自由度，边界条件为理想自由或绝对刚性。在实践中，若能通过确定的传递函数确定固有频率，则该假设成立。
- 线性时不变系统 ：若不满足，可通过缩小考虑的频率范围或缩短测量时间来满足。
- 叠加原理 ：系统对多个信号同时激励的响应等于对各个激励信号响应的总和。
- 比例性 ：激励力改变一定因子y，系统响应也改变相同因子y。
- 互易性 ：激励位置和响应位置可互换，这在实验模态分析中常需验证。
- 因果性 ：无系统激励就无系统响应，测量时需记录系统响应和激励的整体情况。
- 稳定性 ：系统激励终止后，系统振荡衰减，衰减行为由系统阻尼决定。

3.2 模态分析的理论基础

实验模态分析的理论基础是单质量振荡器受迫振动的运动方程，这是一个二阶微分方程：
[m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)]
对于多自由度系统（MDOF），运动方程为：
[M\ddot{x} + C\dot{x} + Kx = F]
其中，M是模态质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵。

在频域中考虑问题可得到更易处理的数学模型。通过传递函数可推导单质量传感器的模态参数模型。传递函数有以下几种：
- 动态刚度 ：(H_{xF}(\omega))，测量施加力和位移作为系统响应。
- 流动性 ：(H_{vF}(\omega))，测量施加力和速度作为系统响应。
- 惯性：(H_{aF}(\omega))，测量施加力和加速度作为系统响应。

传递函数(H_{xF}(\omega))可通过以下公式计算：
[H_{xF}(\omega) = \frac{X(\omega)}{F(\omega)} = \frac{H_{vF}(\omega)}{j\omega} = \frac{H_{aF}(\omega)}{(j\omega)^2}]
也可通过实际测量确定，在文献[3]中，(H_{xF}(\omega))可通过代入运动方程得到：
[H_{xF}(\omega) = \frac{1}{k} + \frac{1}{j\omega c} - \frac{1}{\omega^2 m}]

传递函数的特性曲线在不同频率范围有不同特点：
- 在阻尼振荡的谐振频率(\omega_d)以下，由弹簧特性决定，系统刚度越高，传递函数幅值越低。
- 在阻尼振荡的谐振频率(\omega_d)以上，角频率和质量决定传递函数的变化，角频率越高，传递函数幅值越低。
- 在阻尼振荡的谐振频率(\omega_d)附近，系统阻尼决定传递函数的幅值。阻尼低的系统有明显的谐振峰，(\omega_d)易确定，但阻尼较难确定；阻尼高的系统谐振峰较平坦、宽阔。

4. 模态参数的确定

为确定模态参数（模态频率(\omega_d(r))、由位移向量(\vec{\phi}(r))描述的振动模式、模态阻尼(\delta(r))），需要方程(m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t))的特征值。根据阻尼情况可分为三种情况：
- 临界阻尼 ：当(c = c_k = 2\sqrt{mk})时，两个特征值相等，(s = - \frac{c}{2m})。
- 非周期阻尼 ：(c \geq 2\sqrt{mk})，位移非振荡指数衰减，特征值为实数。
- 非临界阻尼 ：(c < 2\sqrt{mk})，位移指数衰减，解具有共轭复特征值：
[s = - \frac{c}{2m} + j\sqrt{\frac{k}{m} - (\frac{c}{2m})^2} = - \delta + j\omega_d]
[s^* = - \frac{c}{2m} - j\sqrt{\frac{k}{m} - (\frac{c}{2m})^2} = - \delta - j\omega_d]
其中，(\delta = - Re{s} = \frac{c}{2m})，(\omega_d = Im{s} = \sqrt{\frac{k}{m} - (\frac{c}{2m})^2} = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2})，(\omega_0)是无阻尼系统的固有角频率。

系统的特征值称为极点位置，由模态阻尼(\delta)和模态频率(\omega_d)组成。在传递函数(H_{xF}(\omega))的(\omega_d(r))处可找到特征值和极点位置。

若将特征值作为矩阵计算求解，传递函数矩阵的每个元素可由下式确定：
[H_{xF,mn} = \sum_{r = 1}^{N} \frac{\phi_m(r) \cdot \phi_n(r)}{-\omega^2 + j\omega 2\delta(r) + \omega_0^2(r)}]
对于单个模态r，传递函数为：
[H_{xF,mn} = \frac{\phi_m(r) \cdot \phi_n(r)}{-\omega^2 + j\omega 2\delta(r) + \omega_0^2(r)} + \sum_{q = 1, q \neq r}^{N} \frac{\phi_m(q) \cdot \phi_n(q)}{-\omega^2 + j\omega 2\delta(q) + \omega_0^2(r)} + B_{mn}]
由于正交性假设，在第r个共振附近的区间内，传递函数仅由第r个模态的贡献决定，可忽略相邻模态的影响（(B_{mn} = 0)）。

当(B_{mn} = 0)且(\omega = \omega_d(r))时，传递函数(H_{aF,mn})为：
[H_{aF,mn} = \frac{\omega_d^2(r) \cdot \phi_m(r) \cdot \phi_n(r)}{-\omega_d^2(r) + j\omega 2\delta(r) + \omega_0^2(r)}]
阻尼比(D(r) = \frac{\delta(r)}{\omega_d(r)})，且(\omega_0^2 = \omega_d^2(r) + \delta^2(r))，则幅值(\vert H_{aF}(\omega_d(r)) \vert)为：
[\vert H_{aF}(\omega_d(r)) \vert = \frac{\phi_m(r) \cdot \phi_n(r)}{D^4(r) + 4 \cdot D^2(r)}]

为确定位移(\phi_m(r))和(\phi_n(r))，需要进行驱动点测量（响应点m等于激励点n）。此时：
[\vert H_{aF}(\omega_d(r)) \vert = \frac{\phi_n^2(r)}{D^4(r) + 4 \cdot D^2(r)}]
可通过下式确定(\phi_n(r))：
[\phi_n(r) = \sqrt{\vert H_{aF,mn}(\omega_d(r)) \vert \cdot (D^4(r) + 4 \cdot D^2(r))}]
对于(\phi_m(r))（(m \neq n)），有：
[\phi_m(r) = \frac{\sqrt{D^4(r) + 4D^2(r)} \cdot \vert H_{aF,mn}(\omega_d(r)) \vert}{\phi_n(r)}]

5. 使用MATLAB®确定振动模式

要使用MATLAB®确定结构的模态r的振动模式，需要以下信息：
- 在(\omega = \omega_d(r))处，激励响应点(m = n)的传递函数(\vert H_{aF,mn}(\omega_d(r)) \vert)的幅值，以确定激励点的位移(\phi_n)。
- 在(\omega = \omega_d(r))处，所有响应测量点(m \neq n)的传递函数(\vert H_{aF,mn}(\omega_d(r)) \vert)的幅值，以确定响应点的位移(\phi_m)。
- 传递函数(\vert H_{xF,mn}(\omega_d(r)) \vert)在(\omega_d(r))附近的范围，以确定阻尼(D(r))和精确的谐振频率(\omega_d(r))或谐振频率(f_d(r))。
- 极点s的虚部的符号，以确定位移的方向。

此求解路径要求基础测量是一个激励点n和多个响应点m的测量。若不是这种情况，由于互易性，可在方程中交换索引n和m。

6. 实验模态分析的操作执行

测量可采用脉冲锤测量或振动台测量：
- 脉冲锤测量 ：可使用一个或多个激励点和一个或多个响应测量点，响应测量点理想情况下配备加速度计。
- 振动台测量 ：通常使用一个激励点。

在进行模态分析时，需要对分析对象进行有意义的离散化，定义结构上的各个测量或激励点。但要注意：
- 若测量点均匀分布，可能无法检测到某些模态。例如，在模态的振动节点处进行激励或测量，该模态将无法确定。
- 香农采样定理适用于振动模式的确定，即确定一个振动需要多于两个测量值。在实验模态分析中，只有波长大于两个测量点最小距离两倍的模态才能被确定。

对于复杂结构，要确保记录每个特征组件的所有振动。若实验模态分析的结果用于与仿真模型进行调整，需确保测量点与仿真点匹配。测量点的数量取决于结构的几何形状、考虑的频率范围和模态数量，开始分析时无法明确确定，但可通过类似对象的经验和与仿真模型的比较来确定。

以下是实验模态分析操作执行的流程图：

graph TD
    A[选择测量方法] --> B{脉冲锤测量}
    A --> C{振动台测量}
    B --> D[确定激励点和响应点]
    C --> D
    D --> E[进行测量]
    E --> F[计算传递函数]
    F --> G[识别系统参数]
    G --> H[确定模态参数]

综上所述，实验模态分析是一个复杂但重要的过程，通过合理的假设、理论推导和实际操作，能够准确确定结构的模态参数，为振动问题的分析和解决提供有力支持。

实验模态分析：原理与操作指南

7. 实验模态分析的应用实例

为了更好地理解实验模态分析的实际应用，下面以一个飞轮为例进行说明。

7.1 测量设置

采用脉冲锤测量方法，在飞轮上设置了一个激励点和多个响应测量点。激励通过脉冲锤在飞轮的10个不同点进行，响应信号则通过安装在飞轮内侧的加速度计在一个响应点进行测量。

7.2 数据采集与处理

通过上述测量设置，采集到了飞轮的激励和响应数据。对这些数据进行处理，计算出传递函数。在这个过程中，利用了MATLAB® Signal Processing Toolbox中的相关功能。

7.3 模态参数确定

根据计算得到的传递函数，确定了飞轮的模态参数。具体来说，通过分析传递函数在不同频率下的特性，找到了飞轮的精确谐振频率，分别为1221.2 Hz、3214.3 Hz和3222.1 Hz。

同时，根据前面介绍的方法，确定了每个模态的阻尼比和振动模式。例如，通过驱动点测量和相关公式计算，得到了激励点和响应点的位移。

8. 实验模态分析的注意事项

在进行实验模态分析时，需要注意以下几个方面：

注意事项	详细说明
测量点的选择	测量点的分布对模态的检测至关重要。应避免在模态的振动节点处设置测量点，同时要满足香农采样定理，确保能够检测到所需的模态。
激励方式的选择	不同的激励方式适用于不同的情况。脉冲锤测量适用于快速获取数据，但可能存在激励能量不均匀的问题；振动台测量则能够提供更稳定的激励，但通常需要较长的测量时间。
系统的线性时不变性	实验模态分析基于系统是线性时不变的假设。如果系统不满足这一条件，需要对测量范围或时间进行调整，以确保在满足假设的条件下进行分析。
数据处理的准确性	在计算传递函数和确定模态参数时，要确保数据处理的准确性。可以采用多次测量取平均值等方法来提高数据的可靠性。