11、算法复杂度：从图灵机到热力学的深度探索

算法复杂度：从图灵机到热力学的深度探索

1. 算法复杂度基础与支付函数

算法复杂度理论旨在通过最短有效描述的长度，对单个字符串的随机性进行客观刻画。为了消除不同计算机对描述长度的影响，经典算法复杂度理论引入了通用图灵机（UTMs）。

考虑一个场景，若字符串按分布 $Q$ 分配，其中一半的描述需要 $\frac{n}{2} \log_2 10$ 比特，另一半来自计算 $\pi$ 近似值的算法，仅需有限的 $C$ 比特。由此可得前缀机计算的最短有效描述长度的上界：$K(i(n)) \leq \frac{n}{2} \log_2 10 + C$。

基于此，定义支付函数 $t(i(n)|Q) := 2^{-\log_2 Q(i(n)) -K(i(n))} = 10^n 2^{-K(i(n))}$。对于公平的赌场老板，可接受基于此支付函数的赌注，但政府不能。因为若指控者对 $n$ 次连续选举的数字各下注 1，将向政府支付 $n$，却能从政府获得 $10^n/2^{2 - C}$，在 $n$ 很大时这是一笔可观的金额。而且该支付函数仅依赖模式的存在，不依赖其具体形式，指控者无需先验知识。

2. 经典图灵机

图灵机（TM）是一种基础且抽象的计算设备模型，由以下部分组成：
- 双向无限磁带 $T$，划分为以整数 $i \in Z$ 标记的单元格，每个单元格包含空白符号 # 或给定字母表 $\Sigma$ 中的符号 $\sigma$，令 $\Sigma = \Sigma \cup #$。
- 读写头 $H$，沿磁带移动。当位于第 $i$ 个单元格时，读取符号 $\sigma_i \in \Sigma$，可保持不变或将其更改为 $\si