快速乘and快速幂

最新推荐文章于 2020-04-12 00:26:31 发布

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本文详细介绍了快速幂和快速乘算法，快速幂通过将指数转换为二进制形式来降低计算复杂度，实现O(nlogn)的运算效率。同时，文中也解释了如何避免计算过程中的溢出问题，并提供了具体的代码实现。掌握这些算法对于解决数论问题，如求逆元等，至关重要。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

快速幂：用O(nlogn)的复杂度计算出 $a ^ n$
将指数写成二进制的形式，然后在拆开
例如：在计算 $5^{11}$ 时可以写成 ${5}^{8}*{5}^{2}*{5}^{1}$
代码：

inline int quickpow(int a, int b, int mod) {
	int re = 1;
	while(b) {
		if(b & 1)	re = re * a % mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return re % mod;
}

应该很容易理解。
快速乘：防止计算 $a * b$ 溢出
和快速乘一样的思想
代码：

inline int quickmul(int a, int b, int mod) {
	int re = 0;
	while(b) {
		if(b & 1)	re = re + a % mod;
		b >>= 1;
		a = a + a % mod;
	}
	return re;
}

接下来就是两者结合的快速幂

inline int quickmul(int a, int b, int mod) {
	int re = 0;
	while(b) {
		if(b & 1)	re = re + a % mod;
		b >>= 1;
		a = a + a % mod;
	}
	return re;
}

inline int quickpow(int a, int b, int mod) {
	int re = 1;
	while(b) {
		if(b & 1)	re = quickmul(re, a, mod);
		re %= mod;
		b >>= 1;
		a = quickmul(a, a, mod);
		a %= mod;
	}
	return re;
}