搜索算法

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本文介绍了深度优先搜索（DFS）和宽度优先搜索（BFS）两种图遍历算法。DFS用于部分和问题的解决，而BFS则通过队列实现，以找到图中点的最短路径。文章通过举例说明BFS在最优配餐问题中的应用，并强调在实际应用中考虑边界条件的重要性。此外，还讨论了拓扑排序的概念和在有向无环图（DAG）中的实现，包括入度删边法和DFS搜索方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

DFS深度优先搜索

部分和问题：

给定整数a1 ，a2 ，… an,判断是否可以从中选出若干数，使得他们的和恰好为k。若存在输出true,否则输出false.

int a[MAX_N];   //a[0]~a[n-1]
int n,k;

bool dfs(int i,int sum)   //表示已经从前i个数做出选择，当前所选数的和为sum.i=0时表示还未开始选择
{
    if(i==n) return sum==k;   //i=n时，对前n个数都做出了选择，选择完毕，应该输出结果
    //dfs(i,sum)表示已经对a[i-1]及之前的数进行了选择。
    //当前需要选择是否加入a[i]
    if(dfs(i+1,sum))  return true;
    
    if(dfs(i+1,sum+a[i]))  return true;
    
    return false;  //如果选或不选a[i]都不能，则返回false
}

void solve()
{
    if(dfs(0,0)) printf("true");
    else printf("false");
}

BFS宽度优先搜索

使用队列实现，对于图中的点，第一次遍历到该点时，就找到了该点的最短路径。

以CCF-最优配餐为例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//在图中不需要记录商家的位置，直接将商家的位置压入队列中，就不用在grid[][]中区别商家，用户，障碍 

class Point{
	public:   
		int x,y,cost;    //该点坐标以及  所有商家到该点的最短距离 
		Point(int xx=0,int yy=0,int ccost=0):x(xx),y(yy),cost(ccost) {}
};

int dx[]={1,0,-1,0};
int dy[]={0,1,0,-1};

int grid[1002][1002];  //grid中，-1代表障碍，0代表可走的路，>0表示客户的数量 
//int shortlen[1002][1002];  shortlen中可能有很多空白，所以在point中加cost代替 
bool shortfind[1002][1002]; //记录该点是否已找到最短路径 

int main()
{
	memset(grid,0,sizeof(grid));
	memset(shortfind,0,sizeof(shortfind));
	
	int n,m,k,d;
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&k,&d);
	queue<Point> Q;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		Point shopp(x,y,0);
		Q.push(shopp);
		shortfind[x][y]=true;
	}
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		int x,y,num;
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&num);
		grid[x][y]+=num;
	}
	for(int i=0;i<d;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		grid[x][y]=-1;
	}
	
	long long res=0;   //long long保存结果--------因为数字很大 
	
	while(!Q.empty())
	{
		Point tempP=Q.front();
		Q.pop();
		int x=tempP.x,y=tempP.y,c=tempP.cost;
		if(grid[x][y]>0)
			res+=(long long)grid[x][y]*c; //在出队时对出队节点处理，这样保证每个节点都会处理到
		
		int xx,yy,cc;
		for(int i=0;i<4;i++)   //四个方向 
		{
			xx=tempP.x+dx[i];
			yy=tempP.y+dy[i];
			cc=tempP.cost+1;
            //不能超过边界，不能走到障碍物，不能走已经找到最短路的点
			if(xx>0&&xx<=n&&yy>0&&yy<=n&&!shortfind[xx][yy]&&grid[xx][yy]>=0)
			{
				Q.push(Point(xx,yy,cc));
				shortfind[xx][yy]=true;
			}	
		}
	}
	printf("%lld",res);
}

对于Grid数组保存的是图的信息，需要体现障碍（-1），客户订餐数（>0数），普通道路（0）的信息。
对于源点，一开始输入时就将其放入队列中，所以不用在grid图中标记
还需要shortfind数组记录该点是否找到最短路径（bfs第一次遍历到该点时得到的就是最短路径
对于该题，认证读题和示例后发现最左下角的点表示为（1，1），所以整个图的范围是（1，1）~（n,n）在判断点是否在图中时需要使用边界来判定。
该题和普通的bfs不同的是有多个源点，在起始时一次把所有源点放入队列中，之后bfs求出来的最短距离就是所有源点距离最近的源点的最短距离。（虽然源点放入队列中是按顺序的，但在bfs中是从源点一层一层求的（看作以源点为圆心向外发散，所以最先波及到的点直接就确定了所有源点总的最短距离。

拓扑排序

拓扑排序的定义

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

1.每个顶点出现且只出现一次。
2.若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。

实现方法：

入度删边法：

每次选择当前入度为0的节点，将该节点和其出边删除。

这样循环选择，直到所有节点都被删除或者存在节点但是没有入度为零，对于后者表示图中有环。

实现时使用indegree[]和delete[]记录节点入度和被删除节点，对于当前入度为0的节点，可以放入queue中

（以此类推同样可以使用出度（为0）删边法，这样求得是拓扑排序的逆序，放入stack中就可正序输出）

dfs搜索

（相当于出度为0选择，对于一个节点，如果所有的出边都dfs访问完，则将该节点入stack。（但这种方法不能检查出环路，所以之前可以用普通的dfs做一遍检测环路，若有环路，则没有拓扑排序）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34871092

https://blog.youkuaiyun.com/lalor/article/details/7392793

https://blog.youkuaiyun.com/tianshuai1111/article/details/7041571

伪代码：
DFS-IMPROVE(v,visited,stack)    //dfs
  visited[v] = true
  for i equal to every vertex adjacent to v
    if visited[i] == false
      DFS-IMPROVE(i,visited,stack)
  end
  stack.push(v)   //出边全部遍历完，将该节点入stack
        
TOPOLOGICAL-SORTING-DFS(g)   //dfs拓扑排序主程序
  let visited be new Array
  let result be new Array
  let stack be new Stack
  for v equal to every vertex in g  //对于非连通图也可求拓扑序
    if visited[v] == false
      DFS-IMPROVE(v,visited,stack)
  end
  while stack.empty() == false    //将stack倒序输出
      result.append(stack.top())
      stack.pop()
  end
  return result

强连通分量