一步一图教你学会动态规划 01背包问题

最新推荐文章于 2025-08-07 20:58:17 发布

tommcat

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分类专栏：算法文章标签：动态规划背包问题算法

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本文通过逐步解析的方式，深入浅出地介绍了动态规划中的01背包问题。针对一张广泛流传但存在错误的分析图，文章提供了正确的理解路径，并配以详细的步骤说明。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

01背包问题的分析有如汗牛充栋，可惜这张错误的分析图却引用甚多、流传甚广

今天花了点功夫，一步一图，教你学会动态规划 01背包问题

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01背包问题 动态规划

晚风轻扬

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01背包问题不完善的01背包问题，动态规划，效率略低，并且w重量必须是整数个人认为动态规划是基于暴力枚举之上，只是作出了极大优化，是一种以空间换取时间的做法其基本思想是找当前最优解，然后存起来，下次直接调用，而不是再次计算过一阵写改进的01背包问题 public class Knapsack { public static void

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回过头再看看上面的分析，会发现动态规划里最关键的问题其实是寻找原问题的子问题，并写出递推表达式，只要完成了这一步，代码部分都是水到渠成的事情了。那么问题来了，怎样把问题拆分成子问题呢？emmm，这个问题有点超纲了，说实话，我也没有掌握到诀窍，还是得具体情况具体分析，但是很多经典的问题都有其经典的套路，其它问题都可以归结到这些问题上面来，可以看做是它们的变种和延伸，把这些经典的问题吃透的话，自然能举一反三。比如采药问题，本质上就是01背包问题，而硬币问题，本质上就是我们之后要介绍的完全背包问题。

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注意到位置为id，权值为v ,不合法的情况，当且仅当 v = id+k或 v= id-k。dp(i,j,pd)表示考虑到第i号点，连了j条边，是否有连接i 到 i-1号点。因此，我们把每一个位置和权值抽象成点，不合法的情况之间连一条边，可以构成二分图。由此可知，当选了n条边，就恰好n个位置不合法，限制条件是：连的边不能相邻，求出f(m) ，f(m)指代至少有m个位置不合法的方案数。由此总共有2n 个点 k 条链，链与链之间无边互不干涉。把二分图展开成k条链，进行dp。简单的乘法原理罢了。

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