线性约束最优化问题的Frank-Wolfe方法

在无约束最优化问题的基础上，我们可以进一步来求解约束最优化问题。约束最优化问题的一般形式为：

$$\begin{aligned} &\min f(x) \\ &s.t. \quad g_i(x)\ge0, i=1,...,m \end{aligned}$$

先考虑$g_i(x)$均为线性函数的情况，此时问题与线性规划的约束条件相同，仅仅是目标函数变成了非线性的。我们可以用泰勒展开对目标函数进行近似，将它线性化。将$f(x)$在$x_k$处展开，有

$$f(x)\approx f(x_k) + \nabla f(x_k)^T(x-x_k)$$
故原问题近似于
$$\begin{aligned} &\min f(x)\approx f(x_k) + \nabla f(x_k)^T(x-x_k) \\ &s.t.\quad x \in S \end{aligned}$$
其中$S$为线性约束构成的可行域。去掉常量后，问题可以写为
$$\begin{aligned} &\min f(x)\approx \nabla f(x_k)^Tx \\ &s.t.\quad x \in S \end{aligned}$$
设此问题的最优解为$y_k$，则直观上$d_k=y_k-x_k$ 应当为原问题的可行下降方向。沿着此方向做一维搜索则可进行一次迭代。为了防止一维搜索的结果超出可行域，我们限制步长$0\leq\lambda\leq1$。注意到线性规划的可行域为凸集，由于$x_k$和$y_k$均为可行点，它们确定的连线均在可行域中。限制步长$0\leq\lambda\leq1$保证了一维搜索的结果在可行域中。

Frank-Wolfe算法的步骤总结如下：

1. 选择初值。初始点$x_0\in S$，给定允许误差$\epsilon>0$，令$k=0$。
2. 求解近似线性规划： $$\begin{aligned}&\min \nabla f(x_k)^Tx \\&s.t.\quad x \in S\end{aligned}$$ 得最优解$y_k$。
3. 构造可行下降方向。令$d_k=y_k-x_k$。若$||\nabla f(x_k)^Td_k \leq \epsilon||$，停止计算，输出$x_k$；否则，转4。
4. 进行一维搜索： $$\min_{0\leq \lambda \leq 1} f(x_k+\lambda d_k)$$ 得步长$\lambda_k$。令 $$x_{k+1}=x_k+\lambda_k d_k \\ k \leftarrow k+1$$ ，转2。

Frank-Wolfe方法将线性约束最优化问题转化为一系列线性规划问题和一维搜索问题求解。可以证明，当$f$具有连续一阶偏导数，且可行域$S$有界，Frank-Wolfe方法是收敛的。