【ATC】Groups DP

最新推荐文章于 2025-05-27 01:14:05 发布

原创最新推荐文章于 2025-05-27 01:14:05 发布 · 79 阅读

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#动态规划

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这篇博客讨论了一个组合优化问题，涉及到将n个人分成k组的方案数计算。其中，两个人若满足特定条件（编号除以m的余数相同）则不能分在同一组。博主通过动态规划的方法，分析了如何计算在限制条件下每个位置的人可以加入的组数，进而得到总方案数。代码中展示了利用动态规划求解该问题的过程。

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题意

有 $n$ 个人分为 $k$ 组

其中两个人 $i, j$ 如果满足 $i\%m==j\%m$ 就不能分在一个组

求当 $k\in[1,n]$ 时的方案数

分析

只考虑第 $i$ 位放在哪里
设 $f [i] [j]$ 表示前 $i$ 个数分成 $j$ 组的方案数，那么，如果第 $i$ 位单独一组，则
$f [i] [j] = f [i - 1] [j - 1]$
如果选择前面的组加进去，那么就是
$f [i] [j] = (f [i] [j] + f [i - 1] [j] * (j - (i - 1) / m))$

代码

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 6e3 + 10;
const ll mod = 998244353;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1);
template<typename T>inline void read(T &a) {
    char c = getchar(); T x = 0, f = 1; while (!isdigit(c)) {if (c == '-')f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) {x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0'; c = getchar();} a = f * x;
}
int gcd(int a, int b) {return (b > 0) ? gcd(b, a % b) : a;}
ll f[N][N];
int n,m;

int main() {
    read(n),read(m);
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= i;j++){
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
            if(j >= (i - 1) / m){
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j] * (j - (i - 1) / m) % mod) % mod;
            }
        }
    for(int i = 1;i <= n;i++) dl(f[n][i]);
    return 0;
}