【ATC】Make Pair 区间DP

最新推荐文章于 2021-11-12 22:45:24 发布

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#动态规划 #概率论 #自动驾驶

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本文介绍了一种使用区间动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法来解决涉及匹配和组合计数的问题，以计算在有特定限制条件下传送门之间的方案数目。通过实例化f[i][j]表示i到j区间内的方案数，文章详细展示了如何利用递推公式更新状态，并提供了相应的C++代码实现。

传送⻔

分析

数据范围不大，所以考虑区间 $D P$
令 $f [i] [j]$ 表示 $i - j$ 区间内的方案数，设中间点 $k$ ，若 $i$ 和 $k$ 可以匹配，则
$f [i] [j] = (f [i] [j] + f [i + 1] [k - 1] * f [k + 1] [j] * c [l / 2] [(j - k) / 2])$

代码

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 500;
const ll mod = 998244353;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1);
template<typename T>inline void read(T &a) {
    char c = getchar(); T x = 0, f = 1; while (!isdigit(c)) {if (c == '-')f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) {x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0'; c = getchar();} a = f * x;
}
int gcd(int a, int b) {return (b > 0) ? gcd(b, a % b) : a;}
ll f[N][N],c[N][N];
int n,m;
bool st[N][N];

void init() {
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        for (int j = 0; j <= i; ++j)
            if (!j)c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
}

int main() {
    init();
    read(n),read(m);
    while(m--){
        int x,y;
        read(x),read(y);
        st[x][y] = st[y][x] = 1;
    }
    for(int i = 0;i <= 400;i++) f[i + 1][i] = 1;
    for(int l = 2;l <= n * 2;l += 2){
        for(int i = 1;i + l - 1 <= 2 * n;i++){
            int j = i + l - 1;
            for(int k = i + 1;k <= j;k += 2){
                if(st[i][k]){
                    f[i][j] = (f[i][j] + f[i + 1][k - 1] * f[k + 1][j] % mod * c[l / 2][(j - k) / 2] % mod) % mod;
                }
            }
        }
    }
    dl(f[1][2 * n]);
    return 0;
}