【Nowcoder】2021牛客暑假集训营（第二场): League of Legends 单调队列优化DP

本文介绍了一种针对区间分组问题的优化算法，旨在通过将给定区间合理分组来最大化各组交集长度之和。算法首先区分了完全覆盖与其他类型的区间，并通过动态规划与单调队列优化实现了高效求解。

传送门

题意

给定 $n$ 个区间，要求将它们分成 $k$ 组，每组之间有交，最大化每组交长度之和

分析

我们把每条边分成两种，一种是能完全覆盖某条边的边，一种是不被其他任何边完全覆盖的边，第一种边有两种情况，可以加到他覆盖的边种，那么他的贡献是 $0$ ，也可以单独放在一组，那么他的贡献是他本身，因为我们都知道，交运算，加一条边对答案的影响只会减少或者不变，不会增大
然后我们按照起点进行排序，考虑 $d p$ 的话，很容易写出状态转移方程

 f[j][i] = max(f[j][i],f[j - 1][k - 1] + a[k].r - a[i].l);

$f [j] [i]$ 表示前 $i$ 个点分成 $j$ 组时的最大答案
但是很明显这是个 $n ^ 3$ 复杂度，但是很神奇的是，这道题写 $n ^ 3$ 的代码是可以过的，我试了一下，大概 $600 m s$ 左右，但是我们还是需要知道一下正解的 $n ^ 2$ 写法
很明显，这个式子可以写成

f[j][i] = max(f[j - 1][k] + a[k].r) - a[i].l;

所以我们只需要处理出来 $m a x (f [j - 1] [k] + a [k] . r)$ 即可，很明显可以用单调队列优化进行处理

代码

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5e3 + 10;
const ll mod = 1000000007;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1);
template<typename T>inline void read(T &a) {
	char c = getchar(); T x = 0, f = 1; while (!isdigit(c)) {if (c == '-')f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) {x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0'; c = getchar();} a = f * x;
}
int gcd(int a, int b) {return (b > 0) ? gcd(b, a % b) : a;}
struct Node{
	int l,r;
	bool operator < (const Node &T) const{
		if(l != T.l) return l < T.l;
		return r > T.r; 
	}
}a[N],b[N];
int n,k;
int f[N][N];
int res[N];
int cnt; // 完全包含
int idx; // 其余
int q[N];

int main() {
	read(n),read(k);
	for(int i = 1;i <= n;i++) read(b[i].l),read(b[i].r);
	sort(b + 1,b + 1 + n);
	int maxr = INF;
	for(int i = n;i;i--){
		if(b[i].r >= maxr) res[++cnt] = b[i].r - b[i].l;
		else maxr = b[i].r,a[++idx] = b[i];
	}
	memset(f,-0x3f,sizeof f);
	f[0][0] = 0;
	sort(a + 1,a + 1 + idx);
	for(int j = 1;j <= idx;j++){
		int tt = -1,hh = 0;
		for(int i = j;i <= idx;i++){
			while(hh <= tt && a[q[hh]].r <= a[i].l) hh++;
			while(hh <= tt && f[j - 1][i - 1] + a[i].r >= f[j - 1][q[tt] - 1] + a[q[tt]].r) tt--;
			q[++tt] = i;
			int k = q[hh];
			f[j][i] = max(f[j][i],f[j - 1][k - 1] + a[k].r - a[i].l);
		}
	}
	int ans = 0,sum = 0;
	sort(res + 1,res + 1 + cnt,greater<int>());
	for(int i = 0;i <= min(cnt,k);i++){
		sum += res[i];
		if(f[k - i][idx] >= 0) ans = max(ans,f[k - i][idx] + sum);
	}
	di(ans);
	return 0;
}