Sicily 1089.Farey Sequence[线性筛法求素数]

最新推荐文章于 2015-09-24 11:20:25 发布

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#代码分析 #function #2010

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本文介绍了一种利用线性筛法求素数的方法，并通过递推公式结合欧拉函数计算Farey序列的元素个数。该方法利用了欧拉函数的性质和积性函数的特点。

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这道题用到了线性筛法求素数，关于线性筛法求素数可以参看http://blog.youkuaiyun.com/titikdhu/archive/2010/07/22/5754172.aspx。

这道题我们可以发现一个规律，设f[n]表示n阶Farey Sequence的的元素个数，则f[n]与f[n-1]之间的差值即为以n为分母，以小于n且与n互质的数为分子组成的真分数的个数，其实就是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，这正式欧拉函数（Eular‘s totient function）的定义,可以参看中文wikihttp://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0或者英文wikihttp://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function。

则我们得到递推公式，f[n]=f[n-1]+eular[n]，所以题目的关键转化为求欧拉函数值，由欧拉函数的性质“欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质， $/varphi(mn)=/varphi(m)/varphi(n)$ ”和“若x为质数，则eular[x]=x-1”可以得出如下定理：

若(maxn%a==0 && (maxn/a)%a==0) 则有:eular[N]=eular[maxn/a]*a;(这条式子还没想明白)

若(maxn%a==0 && (maxn/a)%a!=0) 则有:eular[N]=eular[maxn/a]*(a-1);

再结合线性筛法求素数，就可以得到一下的代码：

#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int maxn=1000000; bool isprime[maxn+1]; long long prime[maxn+1]={0}; long long eular[maxn+1]={0}; long long f[maxn+1]={0}; int len; void initialize() { len=0; memset(isprime,true,sizeof(isprime)); for (int i=2;i<=maxn;i++) { if (isprime[i]) { prime[++len]=i; eular[i]=i-1; } for (int j=1;j<=len && prime[j]*i<=maxn;j++) { isprime[prime[j]*i]=false; if (i%prime[j]==0)//判断prime[j]是否为最小质因子 { eular[i*prime[j]]=eular[i]*prime[j]; break; } else eular[i*prime[j]]=eular[i]*(prime[j]-1); } } } int main() { int n; eular[1]=0; initialize(); for (int i=2;i<=maxn;i++) f[i]=f[i-1]+eular[i]; while (cin>>n && n) { cout<<f[n]<<endl; } return 0; }

PS：太晚了...困...代码分析以后再说吧...