8.4 拓扑排序+树的直径

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拓扑排序

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本文详细介绍了拓扑排序的概念、原理与实现方法，并通过示例解释了其工作流程。此外，还介绍了如何利用两次深度优先搜索或广度优先搜索求解树的直径。

1.拓扑排序

1.1定义
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓
扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任
意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现
在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次
序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，
由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操
作称之为拓扑排序。
无向图和有环的有向图没有拓扑排序

1.2 排序原理
从图中选择一个入度为0的顶点,输出该顶点;
从图中删除该顶点及所有与该顶点相连的边
重复上述两步，直至所有顶点输出。
或者当前图中不存在入度为0的顶点为止。此时可说明图中有环。因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

1.3过程示例

如果我们有如下的一个有向无环图，我们需要对这个图的顶点进行拓扑排序，过程如下：

首先，我们发现V6和v1是没有前驱的，所以我们就随机选
去一个输出，我们先输出V6，删除和V6有关的边，得到如
下图结果：

然后，我们继续寻找没有前驱的顶点，发现V1没有前驱，
所以输出V1，删除和V1有关的边，得到下图的结果：

然后，我们又发现V4和V3都是没有前驱的，那么我们就随
机选取一个顶点输出（具体看你实现的算法和图存储结构），
我们输出V4，得到如下图结果：

然后，我们输出没有前驱的顶点V3，得到如下结果：

此时我们发现剩下的V2和V5入度均为0，然后输出V2和V5
可得到该图的拓扑排序为：v6 v1 v4 v3 v2 v5

1.4思路

建立一个二维数组来表示邻接矩阵，一个一维数组记录各点的入度
依次输入一对相连的点，存入数组，并用1来标记这两个点相连。
一维数组记录的第二个点的入度数+1

1.5 Kahn算法的描述
每一次，选一个入度为0 的顶点输出，然后将其所有后继顶点的入度-1（即把这个顶点往外伸展的边删除），重复这
两步直至输出所有顶点，或找不到入度为0 的顶点为止（这就是有“环”的情况）

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e3+10;
int p[maxn][maxn],vis[maxn];//p记录两点是否相连，vis记录点的入度
int n,m;
int flag[maxn][maxn];
void toposort()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j])//如果入度为0（没有前驱点）
			{
				vis[j]--;//入度变成-1进行标记（入度为-1的点均为已经删除的点）
				printf("%d",j);//输出该节点
				if(i!=n)
					printf(" ");//满足题目要求，两个数字之间有空格 ，最后一名后面没有空格。 
				else
					printf("\n");
				for(int k=1;k<=n;k++)
				{
					if(p[j][k])
						vis[k]--;//将与j相连的节点都删去（删除与j有关的边）
				}
				break;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int x,y;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))//n为节点个数 
	{
		memset(p,0,sizeof(p));//初始化，任意两点不相连
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			//对数据进行处理，如果两点相连，p[x][y]=1,y的入度增加1
			if(!p[x][y])
			{
				p[x][y]=1;//两点相连 
				vis[y]++;// y点入度+1 
			}
		}
		toposort();//拓扑排序 
	}
	return 0;
}

练习题

HDU 1285 确定比赛名次 1285题解

POJ 2367Genealogical tree 2367题解

UVA 10305 Ordering Tasks 水题，没有题解

2.树的直径

2.1定义：树中距离最大的两个结点之间的距离称为树的直径。

2.2求法：两次dfs或bfs。第一次任意选一个点a进行dfs(bfs)找到离它最远的
点b，此点b就是最长路的一个端点，再以b点进行dfs（bfs），找到
离它最远的点c，点c就是最长路的另一个端点，于是就找到了树
的直径。

# include <iostream>
# include <cstring>
# include <queue >
# include <vector >
const int maxn =100020;
using namespace std;
int dis[ maxn ],ans;
bool vis[ maxn ];

vector <pair <int ,int > > V[ maxn ];//声明不定长数组vector，存边的关系 

int bfs(int x)
{
	memset (dis ,0, sizeof (dis ));
	memset (vis ,0, sizeof (vis ));
	queue <int >Q;
	Q. push (x); 
	vis[x]=1;
	int point =0;
 	while (!Q. empty ())
	{
		int F=Q. front ();//队列最底端 
		Q.pop ();
		if(dis[F]>ans)
		{
		ans =dis [F];
		point =F;
		}
		pair <int ,int >t;
		for (int i=0;i<V[F]. size ();i ++)//V[F]. size ()容器大小 
		{
		 	t=V[F][i];
			if(vis [t. first ]==0)
			{
			 	vis [t. first ]=1;
			 	dis [t. first ]= dis[F]+t. second ;
				Q. push (t. first );
			}
		}
	}
 return point ;
}
int main ()
{
	int x,y,z;
	//建图，将边的关系存入v数组   
	while (cin>>x>>y>>z)
	{
		V[x]. push_back ( make_pair (y,z));//V.push_back() 数据的插入；
		V[y]. push_back ( make_pair (x,z));
	}
 	ans =0;
 	int point =bfs (1);//第一次BFS找直径的一个端点 point 
	ans =0;
	bfs( point );//第二次，对point用BFS，确定树的直径 
	cout <<ans << endl ;
	return 0;
 }

练习题：

POJ 2631:Roads in the North 2631题解

POJ 1985 Cow Marathon 1985题解

POJ 1383 Labyrinth