8.4 拓扑排序+树的直径

本文详细介绍了拓扑排序的概念、原理与实现方法,并通过示例解释了其工作流程。此外,还介绍了如何利用两次深度优先搜索或广度优先搜索求解树的直径。

1.拓扑排序

1.1定义
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓
扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任
意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现
在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次
序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,
由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操
作称之为拓扑排序。
无向图和有环的有向图没有拓扑排序

1.2 排序原理
从图中选择一个入度为0的顶点,输出该顶点;
从图中删除该顶点及所有与该顶点相连的边
重复上述两步,直至所有顶点输出。
或者当前图中不存在入度为0的顶点为止。此时可说明图中有环。因此,也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

1.3过程示例

如果我们有如下的一个有向无环图,我们需要对这个图的顶点进行拓扑排序,过程如下:

首先,我们发现V6和v1是没有前驱的,所以我们就随机选
去一个输出,我们先输出V6,删除和V6有关的边,得到如
下图结果:

然后,我们继续寻找没有前驱的顶点,发现V1没有前驱,
所以输出V1,删除和V1有关的边,得到下图的结果:

然后,我们又发现V4和V3都是没有前驱的,那么我们就随
机选取一个顶点输出(具体看你实现的算法和图存储结构),
我们输出V4,得到如下图结果:

然后,我们输出没有前驱的顶点V3,得到如下结果:

此时我们发现剩下的V2和V5入度均为0,然后输出V2和V5
可得到该图的拓扑排序为:v6 v1 v4 v3 v2 v5

1.4思路

建立一个二维数组来表示邻接矩阵,一个一维数组记录各点的入度
依次输入一对相连的点,存入数组,并用1来标记这两个点相连。
一维数组记录的第二个点的入度数+1

1.5  Kahn算法的描述
每一次,选一个入度为0 的顶点输出,然后将其所有后继顶点的入度-1(即把这个顶点往外伸展的边删除),重复这
两步直至输出所有顶点,或找不到入度为0 的顶点为止(这就是有“环”的情况)

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e3+10;
int p[maxn][maxn],vis[maxn];//p记录两点是否相连,vis记录点的入度
int n,m;
int flag[maxn][maxn];
void toposort()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j])//如果入度为0(没有前驱点)
			{
				vis[j]--;//入度变成-1进行标记(入度为-1的点均为已经删除的点)
				printf("%d",j);//输出该节点
				if(i!=n)
					printf(" ");//满足题目要求,两个数字之间有空格 ,最后一名后面没有空格。 
				else
					printf("\n");
				for(int k=1;k<=n;k++)
				{
					if(p[j][k])
						vis[k]--;//将与j相连的节点都删去(删除与j有关的边)
				}
				break;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int x,y;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))//n为节点个数 
	{
		memset(p,0,sizeof(p));//初始化,任意两点不相连
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			//对数据进行处理,如果两点相连,p[x][y]=1,y的入度增加1
			if(!p[x][y])
			{
				p[x][y]=1;//两点相连 
				vis[y]++;// y点入度+1 
			}
		}
		toposort();//拓扑排序 
	}
	return 0;
}

 

练习题 

HDU 1285 确定比赛名次                                      1285题解

POJ 2367Genealogical tree                                 2367题解

UVA 10305 Ordering Tasks                                  水题,没有题解

HDU 2094

POJ 2585

HDU 3342

HDU 2647

2.树的直径

2.1定义:树中距离最大的两个结点之间的距离称为树的直径。
 

2.2求法:两次dfs或bfs。第一次任意选一个点a进行dfs(bfs)找到离它最远的
点b,此点b就是最长路的一个端点,再以b点进行dfs(bfs),找到
离它最远的点c,点c就是最长路的另一个端点,于是就找到了树
的直径。

# include <iostream>
# include <cstring>
# include <queue >
# include <vector >
const int maxn =100020;
using namespace std;
int dis[ maxn ],ans;
bool vis[ maxn ];

vector <pair <int ,int > > V[ maxn ];//声明不定长数组vector,存边的关系 

int bfs(int x)
{
	memset (dis ,0, sizeof (dis ));
	memset (vis ,0, sizeof (vis ));
	queue <int >Q;
	Q. push (x); 
	vis[x]=1;
	int point =0;
 	while (!Q. empty ())
	{
		int F=Q. front ();//队列最底端 
		Q.pop ();
		if(dis[F]>ans)
		{
		ans =dis [F];
		point =F;
		}
		pair <int ,int >t;
		for (int i=0;i<V[F]. size ();i ++)//V[F]. size ()容器大小 
		{
		 	t=V[F][i];
			if(vis [t. first ]==0)
			{
			 	vis [t. first ]=1;
			 	dis [t. first ]= dis[F]+t. second ;
				Q. push (t. first );
			}
		}
	}
 return point ;
}
int main ()
{
	int x,y,z;
	//建图,将边的关系存入v数组   
	while (cin>>x>>y>>z)
	{
		V[x]. push_back ( make_pair (y,z));//V.push_back() 数据的插入;
		V[y]. push_back ( make_pair (x,z));
	}
 	ans =0;
 	int point =bfs (1);//第一次BFS找直径的一个端点 point 
	ans =0;
	bfs( point );//第二次,对point用BFS,确定树的直径 
	cout <<ans << endl ;
	return 0;
 }

练习题:

POJ 2631:Roads in the North     2631题解

 POJ 1985 Cow Marathon    1985题解

 POJ 1383 Labyrinth

05-14
<think>嗯,用户问的是如何在C语言或Python中格式化浮点数为+8.4f的用法。首先,我需要确认这个格式的具体含义。根据常见的格式化规则,+8.4f应该是指显示正负号,总宽度为8个字符,其中小数点后保留4位。那在Python和C中分别怎么实现呢? 先想Python部分。Python的字符串格式化常用format方法或者f-strings。格式说明符一般是类似{:+8.4f}这样的结构。这里的加号表示强制显示正负号,8是总宽度,包括符号、整数部分、小数点和小数部分,4是小数位数。比如数字12.3456格式化后应该显示为+12.3456,但总宽度是8的话,可能需要前面补空格?或者可能实际数字的长度超过8的话会怎样?需要举例说明。 然后C语言中的printf函数,格式说明符也是类似的,%+8.4f。同样的结构,但要注意C语言中的浮点数类型是float或double,使用%f时默认是double,而float会被提升。例如,printf("%+8.4f", num); 这里的num是double类型。同样需要考虑宽度不够时的处理,是自动扩展还是截断? 用户提供的引用中提到Python的格式化输出,特别是f格式符,以及一些选项如e、E、g等,但用户的需求是+8.4f,所以重点在符号、宽度和小数位。引用中提到的“在typecode之前加一个*”可能不适用这里,但需要确认是否正确。 另外,用户可能希望看到具体的例子,比如输入某个数值,经过格式化后输出是什么样子的。比如在Python中,用format或者f-string,以及C语言中的printf示例。同时需要注意对齐方式,默认是右对齐,左边填充空格。如果数值的位数超过8,比如非常大的数,会发生什么?比如+123.4567,总长度是8的话可能不够,这时候是否会保留小数部分但整体宽度超出?需要说明这种情况。 另外,可能用户对符号显示有特别要求,比如正数必须显示+号,负数显示-号,这在格式字符串中的+标志符就是用来实现这个的。而Python和C中的处理方式是否一致?应该是一样的。 总结回答的结构:先分别说明Python和C中的用法,给出示例代码,并解释各部分含义,再比较两者的异同。最后提醒用户注意宽度不足的情况和符号显示的问题。</think>在Python和C语言中实现`+8.4f`格式化的具体方法如下: ### Python实现 使用`format()`方法或`f-string`语法: ```python num = 12.3456789 # 使用format方法 print("{:+8.4f}".format(num)) # 输出: +12.3457 # 使用f-string print(f"{num:+8.4f}") # 输出: +12.3457 ``` - **格式说明符**:`+`强制显示正负号,`8`表示总字段宽度(包含符号、整数、小数点和小数部分),`4`表示保留4位小数 - **对齐规则**:默认右对齐,不足宽度时左侧填充空格 - **数值截断**:若总宽度不足(如数值为`12345.6789`时会输出`+12345.679`,宽度自动扩展) ### C语言实现 使用`printf()`函数的格式化字符串: ```c #include <stdio.h> int main() { double num = 12.3456789; printf("%+8.4f\n", num); // 输出: +12.3457 return 0; } ``` - **格式说明符**:`%+8.4f`与Python规则一致 - **类型要求**:必须使用`double`类型变量,`float`类型会自动提升为`double` ### 关键差异对比 | 特性 | Python | C语言 | |--------------|-------------------------|-------------------------| | 类型要求 | 自动处理所有数字类型 | 需显式匹配`double`类型 | | 宽度不足处理 | 自动扩展字段宽度 | 保持精度,强制扩展宽度 | | 语法结构 | `f-string`或`format()` | `printf()`格式化参数 | ### 注意事项 1. **符号显示**:正数强制显示`+`,负数显示`-` 2. **四舍五入规则**:小数部分第5位决定进位(如`12.34567`会显示为`12.3457`) 3. **极端值示例**: - 输入`12345.6789` → 输出`+12345.6789`(实际宽度10,超出声明宽度8) - 输入`0.1234` → 输出` +0.1234`(左侧补2个空格达到宽度8) 当需要控制科学计数法显示时,可将`f`替换为`e`,如`{:+8.4e}`或`%+8.4e`[^2]。
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