DP：：Poj1050 To the max

 

题目：给定一个N*N方阵，元素为整数，求连续子阵全部元素和的最大值。

 

一开始我想直接在二维上解决问题，在构造递归方程的时候令max[k](k=i+j)为大小i*j的子阵的子阵和的最大值，然而下面的例子说明了没有最优子结构

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 9 0 -2

这使得二维的直接DP成为泡影，给我的感觉是题目无法用DP。然而转念一想，既然高维的做不了，低维的呢？柳暗花明又一村，顿时视野开阔！这种降次的思想来源于数学，一般地，我们必须解决两个问题：（1）低维的怎么做？（2）如何把高维的转化为低维的？下面就这两个问题且行且分析。

二维数组的低维就是一维数组了，那么题目不就是：给定一个一维数组，求连续子序列和的最大值。这个问题就容易了，状态很自然地为m[i]表示前面i个数的子序列中以a[i]元素结尾的连续子序列和的最大值，则状态转移方程为m[i]=max{a[i],m[i-1]+a[i]},由此看出只需要一个for就行，效率为 O(N)!

如何转化，这往往是解决问题的关键之处，有时候尽管简单，但想不到也是徒然，更何况这种转化是否存在本身就是个问题。对这上面的矩阵发呆，想着按照“Sample Input”中所用的性质把矩阵拉长，可这又保证不了连续性，解决的方法是隔开间距N-k，其中k为子连续序列的长度——换个角度思考，既然这样，为何不把各子连续序列对应的元素相加看做一个元素呢？！问题就这样解决了。

下面代码的时间代价为 O(n^3)

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int ArraySe(int n,int a[])
{
	int max=0;
	for(int b=0, i=0;i<n;i++){
		b>0?(b+=a[i]):b=a[i];
		if(b>max) max=b;
	}
	return max;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int n;
	cin>>n;
	int a[100][100];
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			cin>>a[i][j];
	int b[100]={0};
	int max=0,temp;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int l=0;l<n;l++)
			b[l]=0;
		for(int j=i;j<n;j++){
			for(int k=0;k<n;k++)
				b[k]+=a[j][k];
			temp=ArraySe(n,b);
			if(temp>max)max=temp;
		}
	}

	cout<<max<<endl;
	return 0;
}