2、二维传热过程分数阶模型内部正性的数值估计

二维传热过程分数阶模型内部正性的数值估计

1. 引言

在经济、生物、医学、化学和工程等领域，存在许多过程可以用具有正信号（控制、状态和输出）的模型来描述，这类系统被称为正系统。正系统的一些性质分析比非正系统更简单，相关问题也更容易解决。多年来，众多研究者对正系统进行了深入研究。

分数阶微积分是描述复杂物理现象的有力工具，许多学者提出了非整数阶模型。同时，利用开尔文温标可以将热过程用正模型描述，热过程也可以采用分数阶方法进行建模。然而，已知的理论结果并未将正性与实际系统的构建联系起来。以往虽有关于构建正系统或测试热系统正性的研究，但存在一定局限性。

当使用热成像相机时，由于可能的测量位置众多，通过检查控制和输出矩阵正性来测试正性的方法计算复杂度会急剧增加。因此，本文提出了基于蒙特卡罗方法来寻找热成像中“正”和“非正”部分的方法，该方法能以较低的计算成本估计内部正性区域。

2. 预备知识

2.1 基本概念

• 分数阶积分 - 微分算子 ：
  • 定义为 (aD^{\alpha} {t} f(t) = \begin{cases} \frac{d^{\alpha}f(t)}{dt^{\alpha}} & \alpha > 0 \ f(t) & \alpha = 0 \ \int {a}^{t} f(\tau)(d\tau)^{\alpha} & \alpha < 0 \end{cases})，其中 (a) 和 (t) 是算子计算的时间限制，(\alpha \in R) 是非整数阶运算。 </