3、布尔逻辑与逻辑门的构建与实现

布尔逻辑与逻辑门的构建与实现

布尔代数基础

布尔代数主要处理二态二进制值，常见的表示有真/假、1/0、是/否、开/关等，这里我们采用 1 和 0。布尔函数以二进制为输入并输出二进制结果，在计算机硬件的规范、分析和优化中起着核心作用。

常见的布尔运算符有 And、Or 和 Not，也可分别写成特定符号形式。所有可能的布尔函数可通过枚举二进制变量的所有值组合来系统构建。例如，Nand 运算符是 Not - And 的简写，Xor 是异或，Nor 则源于 Not - Or。

实际上，And、Or 和 Not 并没有什么特别之处，不同的逻辑运算符子集都可用于表达任何布尔函数，而 {And, Or, Not} 就是其中之一。更令人惊讶的是，这三个基本运算符中的任何一个都可以用 Nand 运算符表示，这意味着任何布尔函数都可以仅用 Nand 门实现。

布尔函数有两种定义方式。一是使用真值表，为每个可能的变量值元组列出函数值；二是使用布尔表达式，如 (x Or y) And Not (z)。要验证给定的布尔表达式是否与真值表等价，可以逐行计算表达式的值并与真值表对比，也可以通过分析布尔表达式进行自上而下的证明。

给定一个由布尔表达式表示的布尔函数，我们可以通过计算每个值集的函数值来构建其真值表。反之，给定一个布尔函数的真值表，也能合成其布尔表达式。在计算机构建中，真值表便于描述自然状态，布尔表达式则便于在硬件中实现这种描述，二者相互转换是硬件设计的重要实践。

虽然布尔函数的真值表表示是唯一的，但一个布尔函数可以由许多不同但等价的布尔表达式表示，简化布尔表达式是硬件优化的第一步，可通过布尔代数和常识来实现。

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