bitmap求哈密顿距离-给定N（1<=N<=100000）个五维的点A(x1,x2,x3,x4,x5)，求两个点X(x1,x2,x3,x4,x5)和Y(-优快云博客

本文介绍了一种求解高维空间中两点间哈密顿距离最大值的问题，并提供了两种解决方案：暴力遍历和利用位图(bitmap)进行优化计算。通过对问题的详细解析，文章深入探讨了位图在优化计算过程中的应用。

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Java代码

import java.util.Random;
/**
* 题目：
* 给定N（1<=N<=100000）个五维的点A(x1,x2,x3,x4,x5)，求两个点X(x1,x2,x3,x4,x5)和Y(y1,y2,y3,y4,y5)，
* 使得他们的哈密顿距离（d=|x1-y1| + |x2-y2| + |x3-y3| + |x4-y4| + |x5-y5|）最大。|x|=abs(x)。
*
* 第一种方法当然是暴力遍历一次，求得最大值
* 第二种方法借助bitmap
* 在网上找了两个相关的资料：
* http://www.cppblog.com/sonicmisora/archive/2009/09/14/96143.aspx
* http://wenku.baidu.com/view/1e51750abb68a98271fefaa8.html
*
* 我觉得这两个资料都不好理解
* 我的理解如下：
* 1.
* 这道题目里面，使用bitmap的关键是这个：
* 先看二维的点，我们约定形如Xij下标的数字(ij)是二进制，0表示正数，1表示负数，令
* X00= x1 + x2
* X01= x1 - x2
* X10= - x1 + x2
* X11= - x1 - x2
* 用一个一维数组a保存这四个值，即a[0]=X00,a[1]=X01,a[2]=X10,a[3]=X11
* 有N个点，那么就有二维数组：A[N][S],(S=00,01,10,11)
*
* 2.(当然，更严谨的数学证明请参考上面提到的第二个链接)
* |x1-y1| = MAX(x1-y1, y1-x1);
* => |x1-y1| + |x2-y2| =
MAX{
(x1-y1)+(x2-y2)
(x1-y1)-(x2-y2)
-(x1-y1)+(x2-y2)
-(x1-y1)-(x2-y2)
};
也就是=
MAX{
(x1+x2)-(y1+y2)
(x1-x2)-(y1-y2)
(-x1+x2)-(-y1+y2)
(-x1-x2)-(-y1-y2)
};
正好是MAX{(X00-Y00), (X01-Y01), (X10-Y10), (X11-Y11)};
如果有A-Z共26个点，那么
result = MAX{
(A00-B00), (A01-B01), (A10-B10), (A11-B11),
(A00-C00), (A01-C01), (A10-C10), (A11-C11),
......
(X00-Y00), (X01-Y01), (X10-Y10), (X11-Y11),
(Y00-Z00), (Y01-Z01), (Y10-Z10), (Y11-Z11),
};
对上面的每一列应用MAX运算：
对ij=00，时，第一列有MAX(第一列)=MAX(A00,B00...Z00) - Min(A00,B00...Z00)
那么 result = MAX{MAX(第一列),MAX(第二列)...};
也就是上面提到的第一个链接里面的说法，引用一下：
A[1][0]-A[2][0]
A[1][1]-A[2][1]
A[1][2]-A[2][2]
A[1][3]-A[2][3]
然后问题就变得简单了，扫一遍，对于每个I，求出A[*][I]的最大值MAX(I)最小值MIN(I)，
再用MAX(I)-MIN(I)就可以得到对于I来说的最大值了。最后取个总的最大值
* @author bylijinnan
*/
public class HamiltonDistance {
private final int N = 10 * 1000;
private final int D = 5;
private final int S = 1 << D;
public static void main(String[] args) {
HamiltonDistance h = new HamiltonDistance();
h.test();
}
public void test() {
int[][] data = sourceData();
System.out.println(maxHamiltonDistance(data));
System.out.println(maxHamiltonDistanceBitMap(data));
}
/**
* 通过枚举暴力求解
* @param data
* @return
*/
public long maxHamiltonDistance(int[][] data) {
if (data == null || data.length != N || data[0].length != D) {
System.out.println("invalid input");
return 0L;
}
long result = 0L;
for(int i = 0; i < N; i++) {
int[] pointA = data[i];
for(int j = i + 1; j < N; j++) {
int[] pointB = data[j];
long distance = distanceOfTwoPoints(pointA, pointB);
if (result < distance) {
result = distance;
}
}
}
return result;
}
//求得：|X1-Y1| + |X2-Y2| + |X3-Y3| + |X4-Y4| + |X5-Y5| + ...|Xn-Yn|
private long distanceOfTwoPoints(int[] pointA, int[] pointB) {
long result = 0L;
for(int i = 0; i < D; i++) {
result += Math.abs((long)pointA[i] - (long)pointB[i]);
}
return result;
}
/**
* 通过bitmap求解
* @param data
* @return
*/
public long maxHamiltonDistanceBitMap(int[][] data) {
//略去输入合法性检查
long result = Long.MIN_VALUE;
//求得X00000~X11111，下标是二进制
long[][] A = new long[N][S];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < S; j++) {
A[i][j] = getSumByBits(data[i], j);
}
}
//System.out.println(Arrays.deepToString(A));
long MAXi = Long.MIN_VALUE;
long MINi = Long.MAX_VALUE;
for (int i = 0; i < S; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
if (MAXi < A[j][i]) {
MAXi = A[j][i];
}
if (MINi > A[j][i]) {
MINi = A[j][i];
}
}
result = max(result, (MAXi - MINi));
MAXi = Long.MIN_VALUE;
MINi = Long.MAX_VALUE;
}
return result;
}
//0表示正数，1表示负数
private long getSumByBits(int[] a, int s) {
long result = 0L;
for (int i = 0; i < D; i++) {
if (exist(s, i)) {
result -= a[i];
} else {
result += a[i];
}
}
return result;
}