数论常用内容——素数

最新推荐文章于 2024-11-12 23:25:57 发布

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#素数 #数论

本文介绍了素数在数论中的重要性，包括素数的定义、素数个数的估计、筛素数的欧拉方法，以及素数在大数据处理、素因数分解和求因数个数等场景的应用。

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在做数论题过程中，素数出现的频率很高，在基础题和中档题甚至很多高难度的题里面都很常见，这篇博客就来对素数及其使用做一个小小的总结

素数

首先，我们应该明确，素数的定义：

素数（prime number）又称质数，有无限个。素数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他约数的数称为素数。

素数个数估计

既然素数有无限多个，那么n以内的素数有多少个呢？

可以通过如下方式来估计n以内的素数个数

素数个数估计：π(n)≈x/ln(n)

筛素数

知道了有这么多的素数，那我们如何得到素数呢？

直接一个一个遍历判断显然是不可取的，在竞赛中，我们一般采用打素数表的方法来解决这个问题，不知道哪位高人给打素数表起了筛素数这个名字，个人感觉十分贴切。筛法有很多，这里我只介绍一下时间效率最高的欧拉筛法，请看代码

const int MAXN = 10000000 + 10;
bool is_prime[MAXN];//素数筛，true表示该数为素数
int prime[MAXN];//素数表，这里面存了MAXN以内的所有素数
int tol;//素数个数统计

void PrimeTable(){
    //初始化
    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));
    tol=0;
    //从最小的素数2开始筛
    for(int i=2;i<MAXN;i++){
        //如果是素数就加入素数表中
        if(is_prime[i]) prime[tol++]=i;
        //进行筛素数操作
        for(int j=0;j<tol;j++){
            if(i*prime[j]>MAXN)break;
            //把当前数字与素数表中的每个数字的乘积全部筛掉（这些因为有其他因子了，所以不可能是素数）
            is_prime[i*prime[j]]=false;
            //这里很关键，它保证了每一个合数只被筛一遍（大家可以在纸上模拟一下这个过程，就会有深刻的理解）
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

素数的应用

大数据小区间筛素数个数

模拟筛法筛区间内素数个数，先打表，再根据表进行筛素数操作

typedef long long ll;

const int MAXN = 1000000+10;

bool is_prime[MAXN];//true的为合数，false的为素数
int prime[MAXN/10];//存素数
bool num[MAXN];
int tol;
void find_prime(){
    memset(is_prime,false,sizeof(is_prime));
    tol=0;
    is_prime[1]=