矩阵快速幂的应用——优化递推过程

本文介绍如何通过矩阵快速幂优化递推问题。利用矩阵乘法特性构造初始矩阵,并运用快速幂方法求解后续状态。文章举例说明了如何求解等比数列之和与Fibonacci数列。

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矩阵快速幂可用来优化递推

矩阵快速幂的实现及一些详细介绍可以参考我的另一篇文章:
数论常用内容——矩阵快速幂

首先,需要先构造合适的初始状态(第一个矩阵)然后,利用此矩阵和矩阵乘法的性质,使用快速幂的手段求出之后的状态

构造矩阵可以根据矩阵乘法的实现特点来构造,利用合适的性质可以简化运算

例如:给出矩阵A,求S = A + A2 + A3 + … + Ak

分析:把问题转化以加速,令

B = A  I

    0  I

则B^(k + 1) = A^(k + 1)      I + A + A2 + A3 + … + Ak

             0                          I

再比如,求fibnacci数列的时候用

1 1
0 1
作为首项再做n次方求fib(n)

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