中国(北方)大学生程序设计训练赛(第一周)E. water problem

函数 $f:Z^{+}\to Z$。已知 $f\left(1\right)，f\left(2\right)$ 的值，且对于任意 $x>1$，有 $f(x+1)=f\left(x\right)+f(x-1)+\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$。

求 $f\left(n\right)$

多组数据。（数据组数 $T\le 100$）

每组数据包含 $3$ 个不超过 ${10}^9$ 的正整数，分别代表 $f\left(1\right)，f\left(2\right)$ 和 $n$ 的值。

输出  $f\left(n\right)mod({10}^9+7)$ 。每组输出末尾有换行符。

题意:

题目类似斐波那契数列，但比斐波那契数列多了一项。

思路：

首先回忆斐波那契数列的计算方法：

一、递归

直接按照递推公式递归运算，此方法有大量重复计算，导致n趋近不足100就无法在有限时间内计算出来，通常作为递归讲解的例子。

二、动态规划（dp）

为了避免重复计算，我们通常用一个数组记录已经计算的值，采用记忆化搜索的动态规划，就可以减少重复计算。

根据dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2] 从第三项开始迭代即可。

此方法的时间复杂度为O(n)，线性时间复杂度，考虑在1s内，无法计算大于1e8的数据范围。

三、矩阵快速幂

数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)

　　 用矩阵表示为：

　　进一步，可以得出直接推导公式：

所以，对矩阵[1,1,1,0]进行n-2次幂运算，就可以计算出f(n)的值，此时由于幂运算可以使用快速幂运算，可以用矩阵快速幂来进行计算。

此时的时间复杂度为O(logN)

对比斐波那契数列，将其推广

由于本题中的递推关系非线性，即有sin项的约束，$f(x+1)=f\left(x\right)+f(x-1)+\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$。我们展开两项，得到f(x) = f(x-1) + f(x-3) + f(x-4)，通过sin的周期性，消去了常数项。

得到了一个四阶线性递推公式。

类比斐波那契数列的方法，我们需要找一个转移矩阵，满足上述矩阵运算。

由于斐波那契数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：

[Fn Fn-1] = [Fn-1 Fn-2] * A      

所以以上的四阶递推公式也一定存在一个4*4的矩阵A，满足

[Fn Fn-1 Fn-2 … Fn-k+1] = A*[Fn-1 Fn-2 Fn-3 … Fn-k]

                                          = …

                                          = An-k+1 *[Fk-1 Fk-2 Fk-3 … F0]    

这里的k=5；

根据以上地推关系，拼凑出矩阵A（转移矩阵） 为[1 0 1 1,1 0 0 0，0 1 0 0，0 0 1 0]

在计算矩阵的幂时，首先我们定义矩阵乘法的运算法则（矩阵乘法公式），然后对指数进行快速幂处理，通过减少乘法次数，化时间为对数量级。

ac代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MOD = 1000000007;
struct matrix
{
    long long m[4][4];
}ans, base;
matrix multi(matrix a, matrix b)
{
    matrix tmp;
    for(int i = 0; i < 4; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < 4; ++j)
        {
            tmp.m[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 4; ++k)
                tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + ((a.m[i][k]%MOD) *(b.m[k][j]%MOD))%MOD) % MOD;
        }
    }
    return tmp;
}
int fast_mod(int n)  // 求矩阵 base 的  n 次幂
{
    base.m={{1,0,1,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0}};
      // ans 初始化为单位矩阵
    ans.m={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}};
    while(n)
    {
        if(n & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t
        {
            ans = multi(ans, base);
        }
        base = multi(base, base);
        n >>= 1;
    }
    return ans.m[0][1];
}
int main()
{
    int a,b,m;
    while(scanf("%d%d%d", &a,&b,&m)!= -1)
    {
        if(m==1)
        printf("%d\n",a);
        if(m==2)
        printf("%d\n",b);
        if(m==3)
        printf("%d\n",a+b);
        if(m>3)
        {
           fast_mod(m-4);
           long long sum=(((ans.m[0][0]%MOD)*4)%MOD+((ans.m[0][1]%MOD)*3)%MOD+((ans.m[0][2]%MOD)*2)%MOD+((ans.m[0][3]%MOD)*1)%MOD)%MOD;
           printf("%lld\n",sum);
        }
    }
    return 0;
}