2019 ICPC 南昌邀请赛 A-Attack（斯坦纳树）

题意：给出一个无向图，和四对数据。每对数据分别为图中的两个点。要求添加一些边，使每对点都能连通，让总边权最小。

分析：POJ3123、NWERC2006原题，《acm国际大学生程序设计竞赛：题目与解读》P564。斯坦纳森林模板题，把所有的集合放在一起，做一遍斯坦纳树，然后对所有集合做一遍子集合并dp。斯坦纳树的转移方程有两重：第一重，先通过连通状态的子集进行转移。dp[i][state]=min{ dp[i][subset1]+dp[i][subset2] } ，枚举子集的技巧可以用 for(sub=(state-1)&state;sub;sub=(sub-1)&state)。第二重，在当前枚举的连通状态下，对该连通状态进行松弛操作。dp[i][state]=min{ dp[i][state], dp[j][state]+e[i][j] }。复杂度 O(n*3^k+c*E*2^k)。k为要求连通的点数，c为SPFA复杂度中的常数，E为边的数量，但几乎达不到全部边的数量，甚至非常小。3^k来自于子集的转移，sum{C(i,n)*2^i} (1<=i<=n)，用二项式展开求一下和。

斯坦纳树入门参考https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/7643445.html#autoid-0-1-0。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, cnt, u, v, w;
int status;///表示0~n号节点都被选择时的状态+1
int s[40], nt[2009], e[2009], val[2009];
int dis[40][1000], vis[40], ans[1000], flag[1000];
///dis[i][j]表示以i节点为根选择点集状态为j时的最小值；vis[i][j]表示i节点为点集j时是否在队列中
queue<int>q;
map<string, int>mp;/// 城市名和节点编号的对应关系
char s1[30], s2[30];

///初始化
void init()
{
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	memset(s, -1, sizeof s);
	mp.clear();
	cnt = 0;
	status = 1 << 8;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j < status; j++)
			dis[i][j] = INF;
}

///SPFA进行松弛
void SPFA(int sta)
{
	while (!q.empty())
	{
		int pre = q.front();
		q.pop();
		vis[pre] = 0;
		for (int i = s[pre]; ~i; i = nt[i])
		{
			if (dis[pre][sta] + val[i] < dis[e[i]][sta])
			{
				dis[e[i]][sta] = dis[pre][sta] + val[i];
				if (!vis[e[i]])
				{
					vis[e[i]] = 1;
					q.push(e[i]);
				}
			}
		}
	}
}
/// 斯坦纳树核心代码（状压dp）
void Steiner_Tree()
{
	for (int i = 0; i < status; i++)
	{
	    /// 第一重，先通过连通状态的子集进行转移。
	    /// dp[i][state]=min{ dp[i][subset1]+dp[i][subset2] }
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			for (int k = i; k; k = (k - 1) & i)
				dis[j][i] = min(dis[j][i], dis[j][k] + dis[j][i - k]);
			if (dis[j][i] != INF)
			{
				q.push(j);
				vis[j] = 1;
			}
		}
		/// 第二重，在当前枚举的连通状态下，对该连通状态进行松弛操作。
		/// dp[i][state]=min{ dp[i][state], dp[j][state]+e[i][j] }
		SPFA(i);
	}
}

/// 检查点对是否在k状态下的存在性是否一样 存在性不一致时返回真需要进行子集合并
int check(int k)
{
	for (int i = 0; i < 4; i++)
		if ((k >> i & 1) ^ (k >> (i + 4) & 1)) return 0;
	return 1;
}

/// (斯坦纳森林解法）把所有的集合放在一起，做一遍斯坦纳树，然后对所有集合做一遍子集合并dp。
int main()
{
	while (~scanf("%d %d", &n, &m) && (n + m))
	{
		init();
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s1), mp[s1] = i;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
		{
			scanf("%s%s%d", s1, s2, &w);
			u = mp[s1], v = mp[s2];
			nt[cnt] = s[u], s[u] = cnt, e[cnt] = v, val[cnt++] = w;
			nt[cnt] = s[v], s[v] = cnt, e[cnt] = u, val[cnt++] = w;
		}
		for (int i = 1; i <= 8; i++) ///处理四对点对
		{
			scanf("%s", s1);
			int temp = ((i & 1) ? i / 2 : i / 2 + 3); /// 0-4 1-5 2-6 3-7 一一对应
			dis[mp[s1]][1 << temp] = 0;
		}
		Steiner_Tree();
		/// 求出8个点（四个点对）都相连的花费
		for (int i = 0; i < status; i++)
		{
			flag[i] = check(i), ans[i] = INF;
			for (int j = 1; j <= n; j++) ans[i] = min(ans[i], dis[j][i]);
		}

		///合并子集
		for (int i = 0; i < status; i++)
			if (flag[i])///需要合并时
			{
			    ///枚举子集转移
				for (int j = i; j; j = (j - 1)&i)
					if (flag[j] && flag[i - j]) ///转移条件
                        ans[i] = min(ans[i], ans[j] + ans[i - j]);
			}
		printf("%d\n", ans[status - 1]);
	}
	return 0;
}