Codeforces 998D Roman Digits

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分类专栏： ACM codefoces 文章标签：规律思维

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本文探讨了一道关于罗马数字的组合计数问题，通过暴力枚举的方法找到了规律，并给出了优化后的解决方案。对于小于等于11的情况，使用三重循环枚举不同罗马数字的数量来计算可能的组合总数；对于大于11的情况，利用发现的等差数列规律简化计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：点击打开链接
题意：I=1, V=5, X=10, L=50,n个位置可任意放4个数，n个数组成的值是每一位的值的和，要求最后代表的值不同的种类数。
分析：看起来没有什么特别的算法能解决，只能暴力打表找规律了，我开始代码写的太搓了，用的set+dfs，复杂度（n^4*logn）,只打出了前12个根本没找出规律，后面参考了下别人的代码，发现直接3个for循环暴力枚举每个数出现的次数就行了，复杂度为O(n^3)。发现第11项以后，每一项的值比前面一项多49，构成等差数列，理论上解释是之后已经足够稠密到可以每次多拼出49个数字。还是第一次见到要到十多项才有规律的题。。。

打表代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")///手动扩栈
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define debug test
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
#define MOD 1000000007
#define PI acos(-1.0)
const int N = 1e6+10;

ll gcd(ll p,ll q){return q==0?p:gcd(q,p%q);}
int to[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};

ll n,ans;
int a[50],k,cnt[1000];
set<int> s;

void dfs(int x,int v) {
    a[x]=v;
    if(x==k) {
        int sum=0;
        for(int j=1;j<=k;j++) {
            if(a[j]==1) sum+=1;
            else if(a[j]==2) sum+=5;
            else if(a[j]==3) sum+=10;
            else if(a[j]==4) sum+=50;
        }
        if(!cnt[sum]) cnt[sum]=1,ans++;
        ///s.insert(sum);
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=4;i++)
        dfs(x+1,i);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    for(k=1;k<=15;k++)
       mst(cnt,0),dfs(0,0),cout<<ans<<endl,ans=0;
    return 0;
}

优化后的打表代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")///手动扩栈
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define debug test
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
#define MOD 1000000007
#define PI acos(-1.0)
const int N = 1e6+10;

ll gcd(ll p,ll q){return q==0?p:gcd(q,p%q);}
int to[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};

int n,ans;
int cnt[100000];

ll sv(int x) {
    ll ans=0;
    mst(cnt,0);
    for(int i=0;i<=x;i++)
        for(int j=0;j<=x-i;j++)
            for(int k=0;k<=x-i-j;k++)
                if(!cnt[i+5*j+10*k+50*(x-i-j-k)]) ans++,cnt[i+5*j+10*k+50*(x-i-j-k)]=1;
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    for(int i=1;i<=20;i++)
        cout<<sv(i)<<endl;
    return 0;
}

AC代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")///ÊÖ¶¯À©Õ»
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define debug test
#define mst(ss,b) memset((ss),(b),sizeof(ss))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-10
#define MOD 1000000007
#define PI acos(-1.0)
const int N = 1e6+10;

ll gcd(ll p,ll q){return q==0?p:gcd(q,p%q);}
int to[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};

ll n,ans;
int a[50],k,cnt[1000];
set<int> s;

ll sv(int x) {
    ll ans=0;
    mst(cnt,0);
    for(int i=0;i<=x;i++)
        for(int j=0;j<=x-i;j++)
            for(int k=0;k<=x-i-j;k++)
                if(!cnt[i+5*j+10*k+50*(x-i-j-k)]) ans++,cnt[i+5*j+10*k+50*(x-i-j-k)]=1;
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    if(n<12) cout<<sv(n)<<endl;
    else cout<<sv(11)+(n-11)*49<<endl;
    return 0;
}