数学问题总结（题目合集）

现在主要攻数据结构。把一些简单的很好的数学问题收集一下，之后再补回来。

1、2018-2019 ACM-ICPC Nordic Collegiate Programming Contest (NCPC 2018)K. King's Colors

题意：给出一个含有n个节点的树，以及k个颜色，询问有多少种方式正好用k个颜色给树染色，并且任意两个相邻的节点颜色不同。

分析：二项式反演，参考https://blog.youkuaiyun.com/m0_38081836/article/details/83112463。

2、Comet OJ - Contest #10 C 鱼跃龙门

题意：

 

分析：

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int T,l,p[N],pl;
bool v[N];
long long x,y,ans,a[N];
bool fl;
void ecd(long long a,long long b){
	if(b==0){
		if(a!=1){
			fl=0;return;
		}
		fl=1;x=1;y=0;
		return;
	}
	ecd(b,a%b);
	if(fl){
		long long t=x;
		x=y;
		y=t-a/b*y;
	}
}
long long n;
int main(){
	scanf("%d",&T);
	for(int i=2;i<=1000000;++i){
		if(!v[i]){
			p[++pl]=i;
			for(int o=i+i;o<=1000000;o+=i) v[o]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=T;++i){
		scanf("%lld",&n);
		n<<=1;
		ans=n;
		l=0;
		for(long long i=1;1ll*p[i]*p[i]<=n&&i<=pl;++i){
			if(n%p[i]==0){
				a[++l]=p[i];n/=p[i];
				while(n%p[i]==0){
					n/=p[i];a[l]*=p[i];
				}
			}
		}
		if(n!=1){
			a[++l]=n;
		}
		int k=1<<l-1;
		for(int i=1;i<k;++i){
			long long X=1,Y=1;
			for(int o=1,u=1;o<=l;++o,u<<=1){
				if(u&i) X*=a[o];
				else Y*=a[o];
			}
			ecd(X,Y);
			if(fl) {
				ans=min(ans,max(x*X,y*Y));
			}
		}
		printf("%lld\n",ans-1);
	}
	return 0;
}