LuoguP1941[NOIP2014] 飞扬的小鸟 解题报告【背包型DP】

题目描述
Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。
为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编：
游戏界面是一个长为$n$，高为$m$的二维平面，其中有$k$个管道（忽略管道的宽度）。
小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为$1$ ，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度$X$ ，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；
如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度$Y$。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度$X$ 和下降的高度$Y$ 可能互不相同。
小鸟高度等于$0$ 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为$m$时，无法再上升。
现在，请你判断是否可以完成游戏。如果可以 ，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入输出格式
输入格式：
输入文件名为 bird.in 。
第1 行有3 个整数$n,m,k$ ，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；
接下来的$n$ 行，每行2 个用一个空格隔开的整数$X$和$Y$，依次表示在横坐标位置$0$~$n-1$上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度$X$，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度$Y$。
接下来$k$行，每行3 个整数$P$，$L$，$H$，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中$P$表示管道的横坐标，$L$表示此管道缝隙的下边沿高度为$L$，$H$表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证$P$各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。
输出格式：
输出文件名为bird.out 。
共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出$1$，否则输出$0$。
第二行，包含一个整数，如果第一行为$1$，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入输出样例
输入样例#1：
10 10 6
3 9
9 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3
输出样例#1：
1
6
输入样例#2：
10 10 4
1 2
3 1
2 2
1 8
1 8
3 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 0 2
6 7 9
9 1 4
3 8 10
输出样例#2：
0
3
说明
【输入输出样例说明】
如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。
【数据范围】
对于$30%$的数据：$5 ≤ n ≤ 10，5 ≤ m ≤ 10，k = 0$，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕$3$次；
对于$50%$的数据：$5 ≤ n ≤ 2 0 ，5 ≤ m ≤ 10$，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕$3$次；
对于$70%$的数据：$5 ≤ n ≤ 1000，5 ≤ m ≤ 1 0 0$；
对于$100%$的数据：$5 ≤ n ≤ 100 0 0 ，5 ≤ m ≤ 1 0 00，0 ≤ k < n ，0<X < m ，0<Y <m，0<P <n，0 ≤ L < H ≤ m ，L +1< H$ 。
解题报告
对于一个竖直平面，我们可以认为有两种物品：一是代价为$Y_i$，价值为$1$的物品，二是代价为$X_i$，价值为$0$的物品。该竖直平面的状态可以有上一个竖直平面转移过来。我们想要知道，到达最终的那个竖直平面需要的最少价值。

我们定义$dp[i][j]$表示第$i$个竖直平面，到达$j$的高度所需要的最小代价。
考虑转移。显然$dp[i][j]$可以转移到$dp[i+1][j+x[i]]$（即不点击屏幕）或$dp[i+1][j-k*y[i]]$（点击k下屏幕）。由于是要取min，初始值赋+inf（推荐使用1e9），答案就在$dp[n]i],0<=i<=m$里面。
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10000,M=1000,inf=1e9;
struct node
{
    int lf,rg;
    bool flag;
}h[N+5];
int n,m,k,lim;
int x[N+5],y[N+5],dp[N+5][M+5];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)dp[i][j]=inf;
    for(int i=0;i<=n-1;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int pos;
        scanf("%d",&pos),h[pos].flag=1;
        scanf("%d%d",&h[pos].lf,&h[pos].rg);
    }
    for(int i=0;i<=n-1;i++)
    {
        int head=1,tail=m;
        if(h[i].flag)head=h[i].lf+1,tail=h[i].rg-1;
        for(int j=tail;j>=head;j--)
        {
            if(dp[i][j]>=inf)continue;
            lim=i;
            dp[i+1][j-y[i]]=min(dp[i+1][j-y[i]],dp[i][j]);
            int step=(m-j)/x[i]+1;
            for(int k=1;k<=step;k++)
            if(dp[i+1][min(m,j+k*x[i])]>dp[i][j]+k)dp[i+1][min(m,j+k*x[i])]=dp[i][j]+k;
            else break;
        }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=m;i++)ans=min(ans,dp[n][i]);
    if(ans==inf)
    {
        int num=0;
        for(int i=0;i<=lim;i++)if(h[i].flag)num++;
        printf("0\n%d\n",num);
        return 0;
    }
    printf("1\n%d\n",ans);
    return 0;
}