复变函数及应用 第二章学习感受

这一章讲到了解析函数。由于第一章只是讲了复数的各种运算，所以先从函数讲起，对于“分析”，或者“函数论”的课程，讲函数，都是同一个思路：函数的定义，极限，连续，微分。而且强调了复变函数的极限存在、连续等价于考虑它的实部和虚部的对应性质。这些推广是很自然的，其他的就是增加了一点关于∞的规定，就是黎曼球面。真正跟实函数有不同点的地方，是从柯西-黎曼方程开始的。这个方程告诉我们，如果函数在某一点可微，那么实部和虚部是不能任意取值的，而要满足一定的条件。相反的，如果满足柯西-黎曼方程，并且偏导数均连续，那么可微。如果在1个区域内可微，那么就称f是区域内的解析函数。（解析函数有很多优良的性质，不过现在无法讨论清楚）。给出解析函数的基本定义后又介绍了调和函数，并且给出了解析函数还有一个判别法：就是当虚部V是实部U的共轭调和函数。最后讲了一个特殊的函数，就是自变量共轭以后带入函数与自变量带入函数后取共轭结果相同的函数需要什么条件。


本章的很多内容都是微积分平移过来的，读起来没有太多的不适，但是有几点还是需要注意：
1.12节映射的内容其实挺抽象的，需要自己画图理解，但是感觉跟本章其它小节连续不是特别紧密。
2.作者似乎对极坐标情有独钟，特地推倒了极坐标下的柯西-黎曼方程，但是这个方程却不及直接坐标系下的那么优雅，记起来很困难。
3.有些知识的讲述，似乎放到后面比较合适，比如第26节，讲课的老师说后面会得到跟一般的结果，就把这一节跳过去了，书中给的证明我也没看懂……