用位运算不用算术运算实现整数的加减乘除运算

只用位运算不用算术运算实现整数的加减乘除运算

位运算实现整型算术运算

【题目】
给定两个32位整数a和b，可正、可负、可0。不能使用算术运算符，分别实现a和b的加减乘除运算。

【要求】
如果给定的a和b执行加减乘除的某些结果本来就会导致数据的溢出，那么你实现的函数不必对那些结果负责。

实现结果皆为真实算术运算结果，无溢出。

加法

加法结果拆分成无进位加法（半加法）和进位。
无进位加法：a ^ b
进位：(a & b) << 1
无进位加法与进位结果再重复以上操作（再相加），直到进位为0。

注意:

由于python不限制数的范围，当异号数相加大于0时，进位为负数，带符号左移时不断变小，因此统一转换为加数相反数之和，取反。即(a + b) = - (-a + -b)。e.g. a = -3, b = 4, -3 + 4 = -(3 + -4) = -(-1) = 1

相应代码

# (有进位)加法，无溢出
# a^b实现无进位加法，(a&b)<<1实现进位
def add(a, b):
    if b == 0:
        return a
    # a, b互为相反数
    if a == -b:
        return 0
    flag = False
    # 异号数之和大于0，转换加数符号
    if a < 0 and b > 0:
        if -a < b:
            flag = True
            a = -a
            b = -b
    if a > 0 and b < 0:
        if a > -b:
            flag = True
            a = -a
            b = -b
    while b != 0:
        res = a ^ b
        b = (a & b) << 1
        a = res
    if flag is True:
        res = -res
    return res
#简单测试
if __name__ == '__main__':
    a = 1
    b = -1
    print(add(a, b))  # 0

    a = 2
    b = -3
    print(add(a, b))  # -1

    a = -4
    b = 3
    print(add(a, b))  # -1

    a = -5
    b = 100
    print(add(a, b))  # 95

减法

a - b = a + (-b)

注意:
-在代码中为取反操作符。
平常我们可以用~n+1实现取反运算，而此时我们需要实现加法运算，而在实现加法运算的代码中，又需要取反操作，这就构成了一个死循环，因此引入-取反操作符，而不使用~n+1实现取反运算。

相应代码

# 减法
# a - b = a + (-b)
def sub(a, b):
    return add(a, -b)

乘法

整型的二进制表达：$b={\sum }_0^j(b_i\times 2^i)，b_i=0or1$
再利用加法的交换律和结合律
$$a\times b=a\times \sum _0^j(b_i\times 2^i)=a\times \sum _1^j(b_i\times 2^i)+a\times b_0\times 2^0=2\times a\times \sum _0^{j-1}(b_i\times 2^i)+a\times b_0\times 2^0$$

乘2左移1位，除2右移1位，将两个乘数符号位统一提取出来，统一使用正数移位运算，再讲符号位填至运算结果。

相应代码

# 乘法
def multi(a, b):
    sign_a = 0  # a的符号位
    sign_b = 0  # b的符号位
    # 提取符号位
    if a < 0:
        sign_a = 1
        a = -a
    if b < 0:
        sign_b = 1
        b = -b
    res = 0
    while b != 0:
        if b & 1 == 1:
            res = add(res, a)
        a = a << 1
        b = b >> 1
    if sign_a ^ sign_b == 1:
        res = -res
    return res
#简单测试
if __name__ == '__main__':
    a = 1
    b = -1
    print(multi(a, b))  # -1

    a = 2
    b = -3
    print(multi(a, b))  # -6

    a = -5
    b = 100
    print(multi(a, b))  # -500

除法

除法是乘法的逆运算
$$\begin{gathered} a//b=\sum _0^j(b_i\times 2^i) \\ a//b=\sum _0^j(b_i\times 2^i)=b_j\times 2^j+\sum _0^{j-1}(b_i\times 2^i) \\ (a-b_j\times 2^j\times b)//b=\sum _0^{j-1}(b_i\times 2^i)=b_{j-1}\times 2^{j-1}+\sum _0^{j-2}(b_i\times 2^i) \\ \therefore \sum _0^j(b_i\times 2^i)即为商 \end{gathered}$$
先转换为正数相除，再根据符号位判断结果的正负
负数的范围比正数的范围多1，因此转换为正数(abs)，存在溢出问题，java需要考虑整型溢出问题，python无需考虑。

相应代码

# 完整除法
# 先转换为正数相除，再根据符号位判断结果的正负
# 负数的范围比正数的范围多1，因此转换为正数(`abs`)，存在溢出问题，java需要考虑整型溢出问题，python无需考虑
def div(a, b):
    # 除数为0
    if b == 0:
        raise ZeroDivisionError("除0错误")
    sign_a = 0  # a的符号位
    sign_b = 0  # b的符号位
    # 提取符号位
    if a < 0:
        sign_a = 1
        a = -a
    if b < 0:
        sign_b = 1
        b = -b
    res = 0
    fac = 1 << 31
    for i in range(0, 32):
        if a >= multi(b, fac):
            res = add(res, fac)
            a = sub(a, multi(b, fac))
        fac = fac >> 1
    if sign_a ^ sign_b == 1:
        res = -res
    return res
#简单测试
if __name__ == '__main__':
    a = 1
    b = -1
    print(div(a, b))  # -1

    a = 4
    b = 2
    print(div(a, b))  # 2

    a = 100
    b = -5
    print(div(a, b))  # -20
    # a = 1
    # b = 0
    # print(div(a, b))  # ZeroDivisionError

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