费马数

最新推荐文章于 2024-11-15 18:52:31 发布

theArcticOcean

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分类专栏： algorithm_数论文章标签：数学

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本文介绍了费马数的概念及其性质，并通过数学归纳法证明了费马数的特殊形式。进一步，文章展示了任意两个不同的费马数是互质的，并由此推导出存在无限多个素数的重要结论。

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形如 $F_n=2^{2^n}+1$ 的数字被称之为费马数，费马数有可能是素数，有可能不是，费马数的素因子都具备这样的形式： $2^{n+2}k+1$
对于所有的非负整数n，有这样的定理： $F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}=F_n-2$
推导：应用数学归纳法，对于n=1，有 $F_0=3, F_1-2=5-2=3, F_0=F_1-2$
现在做一个假设： $F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}=F_n-2$ $\\so:~ F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}F_n=(F_n-2)F_n=(2^{2^n}-1)\times (2^{2^n}+1) = 2^{2^{n+1}}-1 =$ $\\F_{n+1}-2$

由费马数的特殊的表达式可以猜想任意两个不同的费马数一定是互质的。事实上这也是费马数的一个性质，由前面的定理可以知道， $\\F_n-F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}=2$ ，从 $F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}$ 中随便拿一个数字 $F_m$ 来和 $F_n$ 研究，设 $gcd(F_n,F_m)=d$ ，那么有 $d|F_n-F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}=2$ ，所以 $d=1~or~d=2$ ，因为费马数是奇数，所以d=1，即费马数两两互素。