分治算法（选择问题等）

分治算法由两部分组成：

分：将问题分解为较小的问题，并递归解决小问题（基本情况除外）。

治：从所有子问题的解中构建原问题的解。

一般认为，在程序中至少含有两个递归的算法就是分治算法，如果只有一个递归函数（例如，快速幂等），那么通常是将原问题转化为更简单的问题来解决，例如求阶乘的递归写法：只是将n的阶乘转化成了n乘(n-1)的阶乘，并没有将原问题进行分解。

在分治算法中，子问题通常是不相交的，如果子问题相交，例如斐波那契数列的递归写法，实际上并没有将问题真正分解（因为,，可以看到在递归中出现了重复的计算，也就是子问题是相交的），这样就会使算法的效率变低，事实上使用递归算法的斐波那契数列求解在的情况下效率就已经非常低了。所以在使用分治算法时，子问题之间尽量不要有交集。

分治算法一般由两个递归函数（递归的解决子问题）以及一些附加的工作（用来处理两个子问题的解并得到最终解）组成。如果处理基本情况的语句时间复杂度为，那么分治算法花费的时间就是：

 

由主定理可知，这个表达式的最终结果为（也就是时间复杂度）。所以在一般情况下 ，分治算法解决问题的时间复杂度就为。

下面以两个例子来说明分治算法的思想：

最近点问题：

有一个平面点集（如下图），我们假设点集是按照横坐标排好序的（就算对点集进行排序，最坏的时间界也为，这并不会影响分治算法的最终时间量级）。如果，，它们之间的欧几里得距离为。我们需要找到一对点，它们之间的距离是所有点对距离的最小值，如果，那么这个距离就为0. 

点集P

 如果点集中有N个点，那么总共就有