动态规划—最长公共子序列问题

一、动态规划

动态规划（Dynamic Programming）是一种设计的技巧，是解决多阶段决策过程最优化问题的通用方法。

基本思想：将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解（这部分与分治法相似）。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。通常可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思路。

采用动态规划求解的问题需要具有两个特性：

• 最优子结构（Optimal Substructure）：问题的一个最优解中所包含的子问题的解也是最优的。

• 重叠子问题（Overlapping Subproblems）：用递归算法对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。

问题具有最优子结构性质，我们才能写出最优解的递归方程；具有重叠子问题特性，我们才能通过避免重复计算来减少运行时间。

综上所述，动态规划的关键是 —— 记忆，空间换时间，不重复求解，从较小问题解逐步决策，构造较大问题的解。

二、最长公共子序列（LCS）问题

下面通过一个具体的例子来学习动态规划方法 —— 最长公共子序列问题。

*最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序，并不要求连续。*

问题描述：给定两个序列：X[1...m]和Y[1...n]，求在两个序列中同时出现的最长子序列的长度。