第一题：约瑟夫环问题

 问题:

 已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；

 他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

 解题代码如下：



public class YueSeHu {



	private int n;

	private int m;

	private int[] man;

	private int[] count;


	public YueSeHu(int nn,int mm)

	{

		this.n=nn;

		this.m=mm;

		man=new int[n];

		count = new int[n];


		java.util.Arrays.fill(man, 1);

	}

	//判断是否全部出列

	private int total(int[] t) {  //求INT数组的和

         for (int i : t) {

                   if(t[i]!=0) return 1;

             }

            return 0;

    }

	private int[] out()

	{

	int c = 0;                      //当前人报的数

       	int j = 0;

      	  while (total(man) != 0) {      //当圈中没人时，man中元素之和为0

            	 for (int i = 0; i < n; i++) {

                 	c = c + man[i];                     //报数，出去的人为0，相当于没报

                 	 if (c != 0 && c % m == 0) {        //表示当前c!=0一定要加上，因为0对任何数取余都为0

                       		man[i] = 0;                             //出圈，置为0

                       		count[j++] = i + 1;                //保存出圈人的编号

                      	 c = 0;                                //重新开始报数  

                  }

             }

        }

        return count;

      }


}



问题：求最后一个出圈？

解题思路：

首先定义最初的n个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。
在这n个数字中，第一个被删除的数字是m%n-1，为简单起见记为k。
那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。
相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。
该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样
（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面函数，记为f’(n-1,m)。
最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。
接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列：
k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0   ->    n-k-1
…
k-1   ->   n-2
把映射定义为p，则p(x)= (x-k-1)%n，即如果映射前的数字是x，则映射后的数字是(x-k-1)%n。
对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，
都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m)。
根据我们的映射规则，映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。
把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。
经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。
要得到n个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字，
并可以依此类推。当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。
我们把这种关系表示为：
               0                  n=1
f(n,m )={
              [f(n-1,m)+m]%n     n>1
代码如下：
public static int LastRemaining(int n, int m)
 {
       // invalid input
       if(n <= 0 || m < 0)
             return -1;
       // if there are only one integer in the circle initially,
       // of course the last remaining one is 0
       int lastinteger = 0;
       // find the last remaining one in the circle with n integers
       for (int i = 2; i <= n; i ++) 
             lastinteger = (lastinteger + m) % i;
       return lastinteger;
 }