32、代数表达式建模与Python实现

代数表达式建模与Python实现

1. 代数表达式的分解与组合

在代数中，像 $3x^2 + x$ 这样的表达式可以分解为 $3x^2$ 和 $x$ 的和。根据运算顺序，$3x^2$ 是 3 和 $x^2$ 的乘积，而不是 $3x$ 的平方。

我们可以把乘法和加法等运算看作是将两个或多个代数表达式组合成一个更大表达式的方式。在函数式编程中，这种将小对象组合成大对象的函数通常被称为组合器（combinator）。以下是一些组合器的例子：
- $3x^2$ 是表达式 3 和 $x^2$ 的乘积。
- $x^2$ 是一个幂运算，即表达式 x 的 2 次幂。
- $\sin(x)$ 是一个函数应用，由表达式 $\sin$ 和表达式 x 组合而成。

一个变量（如 x）、一个数字（如 2）或一个函数名（如 $\sin$）不能再进一步分解，我们称它们为元素（element）。虽然 $(3x^2 + x)\sin(x)$ 只是一些印在纸上的符号，但这些符号以特定方式组合，传达了一定的数学意义。

2. 构建表达式树

元素 3、x、2 和 $\sin$，以及加法、乘法、幂运算和函数应用等组合器，足以重建整个表达式 $(3x^2 + x)\sin(x)$。构建步骤如下：
1. 首先，使用幂组合器将 x 和 2 组合成 $x^2$。

graph TD
    x --> x2[Power]
    2 --> x2
    x2 --> x2_result[x²]