26、线性方程组求解与微积分：原理、应用与实践

线性方程组求解与微积分：原理、应用与实践

线性方程组求解与基变换

线性方程组的求解与向量基的变换有着紧密的联系。向量的线性独立性概念与线性方程的独立性概念相关，求解线性方程组等同于在不同基下重写向量。

二维空间中的基变换

在二维空间中，当我们写出向量的坐标，如 (4, 3) 时，实际上是将该向量表示为标准基向量的线性组合：(4, 3) = 4e1 + 3e2，其中 e1 = (1, 0) 和 e2 = (0, 1) 是标准基。然而，标准基并非唯一的基，例如，向量 u1 = (1, 1) 和 u2 = (–1, 1) 也可以构成二维空间的基。

对于向量 (4, 2)，我们可以尝试将其表示为 u1 和 u2 的线性组合：c · (1, 1) + d · (–1, 1) = (4, 2)。这个线性组合等价于矩阵方程：
[
\begin{bmatrix}
1 & -1 \
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c \
d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4 \
2
\end{bmatrix}
]
该矩阵方程隐藏的线性方程为 c – d = 4 和 c + d = 2。有无数个 (c, d) 对可以定义 u1 和 u2 的不同线性组合，但只有一个 (c, d) 对能同时满足这两个方程。

例如，取 (c, d) = (3, 1)，它描述了一个特定的线性组合 3u1 + 1u2，得到点 (x, y) = (2,