17、矩阵计算变换与向量平移

矩阵计算变换与向量平移

1. 矩阵维度与向量表示

矩阵的维度由其行数和列数决定。例如，一个具有三行五列的矩阵，其维度为 3×5。不同维度的向量作为矩阵时也有特定的维度表示：
|向量类型|矩阵维度|
| ---- | ---- |
|2D 列向量|2×1|
|2D 行向量|1×2|
|3D 列向量|3×1|
|3D 行向量|1×3|

2. 矩阵运算的有效性

矩阵相乘时，前一个矩阵的列数必须与后一个矩阵的行数相等，否则运算无效。以下是一些矩阵相乘的例子：
- A. 2×2 矩阵与 4×4 矩阵相乘 ：无效，因为第一个矩阵有两列，而第二个矩阵有四行。
- B. 2×4 矩阵与 4×2 矩阵相乘 ：有效，第一个矩阵的四列与第二个矩阵的四行匹配，结果是一个 2×2 矩阵。
- C. 3×1 矩阵与 1×8 矩阵相乘 ：有效，第一个矩阵的单列与第二个矩阵的单行匹配，结果是一个 3×8 矩阵。
- D. 3×3 矩阵与 2×3 矩阵相乘 ：无效，第一个矩阵的三列与第二个矩阵的两行不匹配。

3. 矩阵运算的代码优化

在 Python 中，向量和矩阵运算常使用 zip 函数，但该函数在输入列表大小不同时会截断较长的列表，导致无效输入产生无意义的结果。因此，需要为所有向量算术函数添加保护措施，使其在遇到无效大小的向量时抛出异常。例如，在进行点积运算时，一个 2D 向量和一个