48、数学与机器学习中的若干问题解答与分析

数学与机器学习中的若干问题解答与分析

1. 第4.4节相关内容

1.1 核函数的重新定义

根据相关练习的解答，可以重新定义核函数 $\hat{k}(x, x_{\kappa}) = 1 + k(x, x_{\kappa})$，以便直接使用 $|f|^2$ 的定义（式(4.4.85)）。此时有 $f_{\hat{k}} = f_{k} + \sum_{\kappa = 1}^{\ell}\sum_{h = 1}^{\ell} \alpha_{h}\alpha_{\kappa}$。

1.2 欧拉 - 拉格朗日方程相关

从欧拉 - 拉格朗日方程可得，驻点必须满足微分方程：
[2f (x)f ‘(x)(1 - f ‘(x)) - f^2(x)f ‘’(x) + f (x)(1 - f ‘(x))^2 = 0 \quad (8.0.29)]
对于 $\forall\alpha \in (-1, +1)$，函数族 ${f_{\alpha}(\cdot)|f_{\alpha}(x) := [x \geq \alpha]x}$ 满足欧拉 - 拉格朗日方程，但只有 $f (x) = [x \geq 0]x$ 同时满足边界条件。

若考虑函数 $f(x)$ 不穿过零水平的情况，即 $\forall x \in [-1, +1] : f (x) \neq 0$，微分方程可化简为 $f (x)f ‘’(x) + (f’)^2 - 1 = 0$，其通解为 $f (x) = \pm\sqrt{2c_2x + c_2^2 - c_1 + x^2}$。当施加边界条件时，得到 $\bar{f}(x) = \sqrt{\frac{1}{2}x - \