38、扩散机器：数据模型与学习任务解析

扩散机器：数据模型与学习任务解析

1. 数据模型基础

在数据处理中，环境数据结构由环境图 (G \sim (V, A)) 定义，其中 (V) 是顶点集，(A) 是弧集。一般来说，图中的扩散过程可能仅在部分区域是均匀的。因此，我们假设顶点可以划分为集合 (V = \bigcup_{\alpha = 1}^{p} V_{\alpha})，其中 (V_{\alpha} \cap V_{\beta} = \varnothing) 当且仅当 (\alpha \neq \beta)。这种划分刻画了 (V_{\alpha}) 中顶点的数据类型，使我们能够在图的顶点上定义不同的函数。

1.1 信息扩散的转移和输出函数

对于任何类型 (\alpha)，都有一对相关的函数：
- 转移函数 (s_{\alpha} : Z_{\alpha}^{|ch(v)|} \times X_{\alpha} \to Z_{\alpha} : (z_{ch(v)}, x_{v}) \to s_{\alpha}(z_{ch(v)}, x_{v}))
- 输出函数 (h_{\alpha} : Z_{\alpha} \times X_{\alpha} \to Y : (z_{v}, x_{v}) \to h(z_{v}, x_{v}))

这里 (X_{\alpha} \subset R^{d_{\alpha}})，(Z_{\alpha} \subset R^{p_{\alpha}})。顶点 (v) 的 (m_{v} = |ch(v)|) 个子节点的顺序关系与 (V) 上定义的关系相同。当 (v = nil)，即 (ch(v) = \varnothing) 时，我们假设 (z_{v