35、约束机器：学习与推理的新视角

约束机器：学习与推理的新视角

1. 约束的等价性与逻辑结构

在约束的世界里，等价性是一个重要的概念。若存在非负函数 $\alpha$，使得 $\psi_2(x, f (x)) = \alpha(x)\psi_1(x, f (x))$，我们就可以定义 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 为等价约束，记作 $\psi_1 \sim \psi_2$。这意味着我们通常处理的是由代表元素 $\overline{\psi}$ 和商集 $F/ \sim$ 所刻画的等价约束类。这种等价关系表明，约束是由商集所表征的实体，它们体现了由函数 $f$ 定义的任务结构中根深蒂固的规律。

2. 学习任务的函数表示

2.1 变分问题的提出

在处理基于内容的约束环境时，我们面临着学习代理的深层次结构问题。为了找到最优解，我们不再局限于有限维参数集的学习，而是提出了一个变分问题，旨在函数空间中探索最优解。这一思路受到监督学习中简约原则的启发，即寻找满足约束条件的最简约代理。

2.2 软约束的处理

以单边完整约束 $\check{\psi}(x, f (x)) \geq 0$ 为例，我们可以通过软约束的方式来处理它。软约束的解释可以通过关联其不匹配程度来实现，即通过惩罚项：
[
E_{\check{\psi}} = \int_{X} (-\check{\psi}(x, f (x))) +^q p(x)dx = V (x {\kappa}, y_{\kappa}, f (x_{\kappa}))
]
这里选择 $\beta(x) = 1$ 和 $q = 1$。为了通过软执行 $\