15、线性阈值机器：线性回归与最小二乘法的深入解析

线性阈值机器：线性回归与最小二乘法的深入解析

在机器学习领域，线性阈值机器是一种基础且重要的模型，它为我们理解智能体与环境的交互提供了一种简单而有效的方式。本文将深入探讨线性机器的相关知识，包括线性回归、最小二乘法、正常方程、未确定问题与伪逆等内容。

1. 线性机器与最小二乘法

在处理大量数据时，我们常常希望找到一个最佳拟合模型来描述所研究的过程。最小二乘法（Least Mean Squares）就是这样一种常用的方法，它通过最小化误差平方和来确定模型的参数。

1.1 线性回归示例

以预测成年人体重为例，假设我们有一组身高与体重的数据，我们希望根据身高来预测体重。设身高为 (x)，体重为 (y)，我们可以使用线性回归模型 (f(x) = wx + b) 来进行预测，其中 (w) 和 (b) 是待确定的参数。

为了找到最佳的 (w) 和 (b)，我们定义误差函数 (E(w, b)) 为所有样本误差的平方和：
[E(w, b) = \sum_{\kappa=1}^{\ell} (y_{\kappa} - wx_{\kappa} - b)^2]
其中，(\ell) 表示样本的数量。

为了求解 (w) 和 (b) 的最优值，我们可以对 (E(w, b)) 求偏导数，并令其为零：
[\frac{\partial E}{\partial w} = 2w\sum_{\kappa=1}^{\ell} x_{\kappa}^2 - 2\sum_{\kappa=1}^{\ell} y_{\kappa}x_{\kappa} + 2b\sum_{\kappa=1}^{\ell} x_{\kappa} = 0]