29、根系系统的主要性质解析

tensorflowjs6

于 2025-11-09 11:55:32 发布

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分类专栏：根系与对称的数学之美文章标签：根系系统李代数表示论

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根系系统的主要性质解析

1. 引言

在数学领域中，根系系统是一个重要的研究对象。它在李代数、表示论等多个领域都有广泛的应用。本文将深入讨论不同类型的根系系统，包括它们的基本性质、相关参数以及一些重要的运算和变换。

2. 不同类型的根系系统

2.1 类型 (D_l) 根系系统

向量空间与根 ：向量空间 (V = E = \mathbb{R}^l)，根为 (\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j)（(1 \leq i < j \leq l)），根的数量 (n = 2l(l - 1))。
基与正根 ：基为 (\alpha_1 = \epsilon_1 - \epsilon_2)，(\alpha_2 = \epsilon_1 - \epsilon_3)，(\cdots)，(\alpha_{l - 1} = \epsilon_{l - 1} - \epsilon_l)，(\alpha_l = \epsilon_{l - 1} + \epsilon_l)。正根有多种形式，如 (\epsilon_i - \epsilon_j = \sum_{1 < k < j} \alpha_k)（(1 \leq i < j \leq l)）等。
Coxeter 数与最高根 ：Coxeter 数 (h = 2l - 2)，最高根 (\tilde{\alpha} = \epsilon_1 + \epsilon_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + 2\alpha_{l - 2} + \alpha_{l - 1} + \alpha_l)。
基本权重 ：基本权重 (w_i) 有特定的表达式，例如 (w_i = \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_i)（(1 \leq i \leq l - 2)）等。
正根之和 ：正根之和 (2\rho = 2(l - 1)\epsilon_1 + 2(l - 2)\epsilon_2 + \cdots + 2\epsilon_{l - 1})。
相关群与指标 ：(P(R)/Q(R)) 在 (l) 为奇数时同构于 (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})，(l) 为偶数时同构于 ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}))，连接指标为 4。
指数：指数为 (1, 3, 5, \cdots, 2l - 3, 2l - 1)（最后一个在 (l) 为偶数时出现两次，(l) 为奇数时出现一次）。
Weyl 群 ：(W(R)) 是群 (\mathfrak{S}_l) 和 ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{l - 1}) 的半直积，其阶为 (2^{l - 1}l!)。
Cartan 矩阵 ：
[
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 2 & -1 & -1 \
0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2
\end{bmatrix}
]

2.2 类型 (E_6) 根系系统

向量空间与根 ：(V) 是 (\mathbb{R}^8) 的子空间，根为 (\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j)（(1 \leq i < j \leq 5)）以及 (\pm\frac{1}{2}(\epsilon_8 - \epsilon_7 - \epsilon_6 + \sum_{i = 1}^{5} (-1)^{\nu(i)}\epsilon_i))（(\sum_{i = 1}^{5} \nu(i)) 为偶数），根的数量 (n = 72)。
基与正根 ：基为 (\alpha_1 = \frac{1}{2}(\epsilon_1 + \epsilon_5) - \frac{1}{2}(\epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4 + \epsilon_6 + \epsilon_7))，(\alpha_2 = \epsilon_1 + \epsilon_2) 等。正根有 (\pm\epsilon_i + \epsilon_j)（(1 \leq i < j \leq 5)）等形式。
Coxeter 数与最高根 ：Coxeter 数 (h = 12)，最高根 (\tilde{\alpha} = \frac{1}{2}(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4 + \epsilon_5 - \epsilon_6 - \epsilon_7 + \epsilon_8) = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 2\alpha_3 + 3\alpha_4 + 2\alpha_5 + \alpha_6 = w_2)。
基本权重 ：基本权重 (w_i) 有相应的表达式，如 (w_1 = \frac{2}{3}(\epsilon_8 - \epsilon_7 - \epsilon_6) = \frac{2}{3}(4\alpha_1 + 3\alpha_2 + 5\alpha_3 + 6\alpha_4 + 8\alpha_5 + 2\alpha_6)) 等。
正根之和 ：正根之和 (2\rho = 2(\epsilon_2 + 2\epsilon_3 + 3\epsilon_4 + 4\epsilon_5 + 4(\epsilon_8 - \epsilon_7 - \epsilon_6)) = 2(8\alpha_1 + 11\alpha_2 + 15\alpha_3 + 21\alpha_4 + 15\alpha_5 + 8\alpha_6))。
相关群与指标 ：(P(R)/Q(R)) 同构于 (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})，连接指标为 3。
指数：指数为 (1, 4, 5, 7, 8, 11)。
Weyl 群 ：(W(R)) 的阶为 (2^7 \cdot 3^4 \cdot 5)，(\tilde{A}(R) = W(R) \times {1, -1})。
Cartan 矩阵 ：
[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \
0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2
\end{bmatrix}
]

2.3 类型 (E_7) 根系系统

向量空间与根 ：(V) 是 (\mathbb{R}^8) 中与 (\epsilon_7 + \epsilon_8) 正交的超平面，根为 (\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j)（(1 \leq i \leq j \leq 6)），(\pm(\epsilon_1 - \epsilon_8)) 以及 (\pm\frac{1}{2}(\epsilon_1 - \epsilon_8 + \sum_{i = 1}^{6} (-1)^{\nu(i)}\epsilon_i))（(\sum_{i = 1}^{6} \nu(i)) 为奇数），根的数量 (n = 126)。
基与正根 ：有特定的基和多种形式的正根。
Coxeter 数与最高根 ：Coxeter 数 (h = 18)，最高根有相应的表达式。
基本权重 ：基本权重 (w_i) 有各自的表达式。
正根之和 ：正根之和 (2\rho = 2\epsilon_2 + 4\epsilon_3 + 6\epsilon_4 + 8\epsilon_5 + 10\epsilon_6 - 17\epsilon_7 + 17\epsilon_8 = 34\alpha_1 + 49\alpha_2 + 66\alpha_3 + 96\alpha_4 + 75\alpha_5 + 52\alpha_6 + 27\alpha_7)。
相关群与指标 ：(P(R)/Q(R)) 同构于 (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})，连接指标为 2。
指数：指数为 (1, 5, 7, 9, 11, 13, 17)。
Weyl 群 ：(W(R)) 的阶为 (2^{10} \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7)，(A(R) = W(R))，(w_0 = -1)。
Cartan 矩阵 ：
[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \
0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2
\end{bmatrix}
]

2.4 类型 (E_8) 根系系统

向量空间与根 ：根为 (\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j)（(i < j)）以及 (\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{8} (-1)^{\nu(i)}\epsilon_i)（(\sum_{i = 1}^{8} \nu(i)) 为偶数），根的数量 (n = 240)。
基与正根 ：有特定的基和正根形式。
Coxeter 数与最高根 ：Coxeter 数 (h = 30)，最高根 (\tilde{\alpha} = \epsilon_7 + \epsilon_8 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 4\alpha_3 + 6\alpha_4 + 5\alpha_5 + 4\alpha_6 + 3\alpha_7 + 2\alpha_8 = w_8)。
基本权重 ：基本权重 (w_i) 有相应的表达式。
正根之和 ：正根之和 (2\rho = 2(\epsilon_2 + 2\epsilon_3 + 3\epsilon_4 + 4\epsilon_5 + 6\epsilon_6 + 6\epsilon_7 + 23\epsilon_8) = 2(112\alpha_1 + 68\alpha_2 + 91\alpha_3 + 128\alpha_4 + 110\alpha_5 + 84\alpha_6 + 67\alpha_7 + 29\alpha_8))。
相关群与指标 ：连接指标为 1。
指数：指数为 (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)。
Weyl 群 ：(W(R)) 的阶为 (2^{14} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7)，(A(R) = W(R))，(w_0 = -1)。
Cartan 矩阵 ：
[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2
\end{bmatrix}
]

2.5 类型 (F_4) 根系系统

向量空间与根 ：(V = E = \mathbb{R}^4)，根为 (\pm\epsilon_i)（(1 \leq i \leq 4)），(\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j)（(1 \leq i < j \leq 4)）以及 (\frac{1}{2}(\pm\epsilon_1 \pm \epsilon_2 \pm \epsilon_3 \pm \epsilon_4))，根的数量 (n = 48)。
基与正根 ：有特定的基和正根形式。
Coxeter 数与最高根 ：Coxeter 数 (h = 12)，最高根 (\tilde{\alpha} = \epsilon_1 + \epsilon_2 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 4\alpha_3 + 2\alpha_4 = w_4)。
基本权重 ：基本权重 (w_i) 有相应的表达式。
正根之和 ：正根之和有特定的表达式。
相关群与指标 ：(P(R) = Q(R))，连接指标为 1。
指数：指数为 (1, 5, 7, 11)。
Weyl 群 ：(A(R) = W(R))，(w_0 = -1)。
Cartan 矩阵 ：
[
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 \
-2 & 2 & -1 & 0 \
0 & -1 & 2 & -1 \
0 & 0 & -1 & 2
\end{bmatrix}
]

2.6 类型 (G_2) 根系系统

向量空间与根 ：(V) 是 (\mathbb{R}^3) 中方程为 (\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 0) 的超平面，根为 (\pm(\epsilon_1 - \epsilon_2))，(\pm(\epsilon_1 - \epsilon_3))，(\pm(\epsilon_2 - \epsilon_3))，(\pm(2\epsilon_1 - \epsilon_2 - \epsilon_3))，(\pm(2\epsilon_2 - \epsilon_1 - \epsilon_3))，(\pm(2\epsilon_3 - \epsilon_1 - \epsilon_2))，根的数量 (n = 12)。
基与正根 ：基为 (\alpha_1 = \epsilon_1 - \epsilon_2)，(\alpha_2 = -2\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3)，正根为 (\alpha_1)，(\alpha_1 + \alpha_2)，(2\alpha_1 + \alpha_2)，(3\alpha_1 + \alpha_2)，(3\alpha_1 + 2\alpha_2)。
Coxeter 数与最高根 ：Coxeter 数 (h = 6)，最高根 (\tilde{\alpha} = -\epsilon_1 - \epsilon_2 + 2\epsilon_3 = 3\alpha_1 + 2\alpha_2 = w_2)。
基本权重 ：基本权重有相应的表达式。
正根之和 ：正根之和 (2\rho = 2(5\alpha_1 + 3\alpha_2))。
相关群与指标 ：(P(R) = Q(R))，连接指标为 1。
指数：指数为 (1, 5)。
Weyl 群 ：(W(R)) 是阶为 12 的二面体群，(A(R) = W(R))，(w_0 = -1)。
Cartan 矩阵 ：
[
\begin{bmatrix}
2 & -1 \
-3 & 2
\end{bmatrix}
]

3. 根系系统的一般性质

根系系统的定义 ：设 (V) 是实向量空间，(V) 中的约化根系系统 (R) 是 (V) 的一个子集，满足以下性质：
- (R) 是有限的且生成 (V)。
- 对于所有 (\alpha \in R)，存在 (\alpha^\vee \in V^*) 使得 ((\alpha, \alpha^\vee) = 2)，并且映射 (s_\alpha : x \mapsto x - (x, \alpha^\vee)\alpha) 将 (R) 变换到 (R)。
- 对于所有 (\alpha \in R)，(\alpha^\vee(R) \subseteq \mathbb{Z})。
- 如果 (\alpha \in R)，则 (2\alpha \notin R)。
相关群 ：
- (A(R)) 是 (V) 的保持 (R) 稳定的自同构群。
- (W(R)) 是由 (s_\alpha)（(\alpha \in R)）生成的 (A(R)) 的子群，称为 (R) 的 Weyl 群，(W(R)) 是 (A(R)) 的正规子群，且 (W(R)) 中唯一的反射是 (s_\alpha)。
- (R^\vee) 是 (R) 的逆根系系统，(\alpha \mapsto \alpha^\vee) 是从 (R) 到 (R^\vee) 的双射，((R^\vee)^\vee = R)，并且 (W(R)) 和 (W(R^\vee)) 同构。
可约性 ：如果 (V) 是向量子空间 (V_1, \cdots, V_m) 的直和，且 (R_i) 是 (V_i) 中的约化根系系统，则 (R = \bigcup_{i = 1}^{m} R_i) 是 (V) 中的根系系统，称为 (R_i) 的直和。如果 (R \neq \varnothing) 且 (R) 不是两个非空根系系统的直和，则 (R) 是不可约的，这等价于 (W(R)) 是不可约的。每个约化根系系统都是不可约约化根系系统的直和，这些不可约分量唯一确定，最多相差一个置换。
标量积 ：在 (V) 上存在在 (W(R)) 下不变的标量积，用 ((x|y)) 表示。如果用 ((x|y)) 来识别 (V) 和 (V^*)，则 (\alpha^\vee = \frac{2}{(\alpha|\alpha)}\alpha)，反射 (s_\alpha) 是将 (\alpha) 变换到 (-\alpha) 的正交反射。如果 (R) 是不可约的，Weyl 群在给定长度的根的集合上传递作用，并且标量积 ((x|y)) 唯一确定，最多相差一个常数倍。
根之间的关系 ：对于 (\alpha, \beta \in R)，定义 (n(\alpha, \beta) = \frac{2(\alpha|\beta)}{(\beta|\beta)} \in \mathbb{Z})，有 (n(\alpha, \alpha) = 2)，(s_\beta(\alpha) = \alpha - n(\alpha, \beta)\beta)。根之间的夹角和长度比有多种可能情况，并且 (s_\alpha s_\beta) 的阶也有不同取值。
根链：设 (\alpha, \beta) 是两个非成比例的根，满足 (\beta + j\alpha \in R) 的 (j \in \mathbb{Z}) 的集合 (I) 是包含 0 的区间 ((-q, p))，(P - q = \frac{2(\beta|\alpha)}{(\alpha|\alpha)})。由 (\beta, \alpha) 定义的 (\alpha) - 根链 (S) 是 ({\beta + j\alpha : j \in I})，(s_\alpha(S) = S)，(s_\alpha(\beta + p\alpha) = \beta - q\alpha)，根链的长度为 (-n(\beta, \alpha))。
腔室：设 (X) 是 (\bigcup_{\alpha \in R} \ker \alpha - (\ker \alpha \cap R)) 的并集，(V - X) 的连通分量称为 (R) 在 (V) 中的腔室，它们是开单纯形锥。Weyl 群在腔室集合上简单传递作用。如果 (C) 是一个腔室，(C) 是 (W(R)) 的一个基本域，对于 (x, y \in C)，有 ((x|y) > 0)。从 (V) 到 (V^ ) 的对应于 ((x|y)) 的双射定义了从 (R) 在 (V) 中的腔室集合到 (R^\vee) 在 (V^ ) 中的腔室集合的双射，用 (C^\vee) 表示 (C) 在这个双射下的像。
基：设 (C) 是 (R) 的一个腔室，(L_1, \cdots, L_l) 是 (C) 的壁，对于每个 (i)，存在唯一的根 (\alpha_i) 使得 (L_i = \ker \alpha_i)，并且 (\alpha_i) 与 (C) 在 (L_i) 的同侧。族 ({\alpha_1, \cdots, \alpha_l}) 是 (V) 的一个基，称为由 (C) 定义的 (R) 的基 (B(C))，有 ((\alpha_i|\alpha_j) \leq 0)（(i \neq j)）。Weyl 群在基的集合上简单传递作用，每个根都可以由 (W(R)) 中的某个元素变换到 (B(C)) 中的一个元素。
Coxeter 系统 ：设 (s_{\alpha_i} = s_i)，(S = {s_1, \cdots, s_l})，(m_{ij}) 是 (s_i s_j) 的阶，则 ((W(R), S)) 是一个 Coxeter 系统，其 Coxeter 矩阵为 ((m_{ij}))，即 (W(R)) 由生成元 ((s_i) {1 \leq i \leq l}) 和关系 ((s_i s_j)^{m {ij}} = 1) 定义。两个元素 (s_i) 和 (s_j) 在 (W(R)) 中共轭当且仅当存在一个指标序列 ((i_1, i_2, \cdots, i_n)) 使得 (i_1 = i)，(i_n = j) 且每个 (m_{i_k i_{k + 1}} = 3)。
Cartan 矩阵 ：设 (n_{ij} = n(\alpha_i, \alpha_j))，矩阵 ((n_{ij}) {1 \leq i, j \leq l}) 称为 (R) 的 Cartan 矩阵，它与腔室 (C) 的选择无关（最多相差一个置换），有 (n {ii} = 2)，(n_{ij} \in {0, -1, -2, -3})（(i \neq j)）。如果两个根系系统具有相同的 Cartan 矩阵，则它们同构。
半直积分解 ：设 (G) 是 (A(R)) 中保持 (B(C)) 稳定的子群，则 (A(R)) 是 (G) 和 (W(R)) 的半直积。
正根与负根 ：每个根对于 (C) 要么是正根，要么是负根，用 (R^+(C)) 表示对于 (C) 为正根的集合，(R = R^+(C) \cup (-R^+(C))) 是 (R) 的一个划分。反射 (s_i) 将 (\alpha_i) 变换到 (-\alpha_i)，并置换 (R^+(C)) 中不同于 (\alpha_i) 的元素。
抛物子集 ：设 (P) 是 (R) 的一个子集，(P) 如果满足当 (\alpha \in P)，(\beta \in P)，(\alpha + \beta \in R) 时，(\alpha + \beta \in P)，则称 (P) 是闭的；如果 (P) 是闭的且 (P \cup (-P) = R)，则称 (P) 是抛物的。以下条件等价：
- (P) 是抛物的。
- (P) 是闭的且存在一个腔室 (C) 使得 (P \supseteq R^+(C))。
- 存在一个腔室 (C) 和 (B(C)) 的一个子集 (\Sigma) 使得 (P) 是 (R^+(C)) 和由 (\Sigma) 中的元素的整数系数非负线性组合构成的根的集合 (Q) 的并集。
- 如果这些条件满足，设 (V_1) 是由 (\Sigma) 生成的 (V) 的向量子空间，则 (P \cap (-P) = Q \cup (-Q) = V_1 \cap R)，且 (P \cap (-P)) 是 (V_1) 中的根系系统，基为 (\Sigma)。
权重与连接指标 ：由 (R) 生成的 (V) 的子群记为 (Q(R))，(Q(R)) 的元素称为 (R) 的根权重。与 (Q(R)) 相关联的 (V) 的子群记为 (P(R))，(P(R)) 的元素称为 (R) 的权重。(P(R)/Q(R)) 和 (P(R^\vee)/Q(R^\vee)) 是有限且同构的，它们的阶 (f) 称为 (R) 的连接指标。(A(R)) 保持 (P(R)) 和 (Q(R)) 稳定，因此作用在 (P(R)/Q(R)) 上，(W(R)) 在 (P(R)/Q(R)) 上平凡作用，所以 (A(R)/W(R)) 作用在 (P(R)/Q(R)) 上。
基本权重 ：设 (C) 是一个腔室，({\alpha_1, \cdots, \alpha_l}) 是对应的基，({\omega_1, \cdots, \omega_l}) 是 ({\alpha_1^\vee, \cdots, \alpha_l^\vee}) 的对偶基，(\omega_i) 称为 (R) 的基本权重（对于 (C) 或 (B(C))）。由 (\omega_i) 的正系数（或非负系数）线性组合构成的集合是 (C)（或 (\overline{C})）。由 (\omega_i) 的整数非负系数线性组合构成的元素称为优势权重，(P(R)) 中的每个元素都可以由 (W(R)) 中的某个元素变换到唯一的优势权重。优势权重是 (V) 中的元素 (x)，使得 (\frac{2(x|\alpha_i)}{(\alpha_i|\alpha_i)}) 是整数且非负（对于所有 (i)）。
正根之和 ：设 (p = \frac{1}{2} \sum_{\alpha \in R^+(C)} \alpha)，则 (p = \omega_1 + \cdots + \omega_l \in C)。
仿射 Weyl 群 ：设 (T) 是 (V^ ) 的平移群，其平移向量属于 (Q(R^\vee))，由 (T) 和 (W(R)) 生成的 (V^ ) 的仿射变换群是 (W(R)) 和 (T) 的半直积，称为 (R) 的仿射 Weyl 群，记为 (W_a(R))，它在 (V^ ) 上适当作用。对于 (\alpha \in R) 和 (\lambda \in \mathbb{Z})，定义 (s_{\alpha, \lambda} : x^ \mapsto x^ - (x^ , \alpha)\alpha^\vee + \lambda\alpha^\vee)，这是一个仿射反射，其不动点集 (L_{\alpha, \lambda}) 由方程 ((x^*, \alpha) = \lambda) 定义，(L_{\alpha, \lambda} = L_{\alpha} + \frac{\lambda}{2}\alpha^\vee)。(s_{\alpha, \lambda}) 是 (W_a(R)) 中的仿射反射，且它们生成 (W_a(R))。
凹室：设 (E) 是 (\bigcup_{\alpha \in R, \lambda \in \mathbb{Z}} L_{\alpha, \lambda}) 的并集，(V^* - E) 的连通分量称为 (R) 的凹室。如果 (R) 是不可约的，每个凹室是一个开单纯形；一般地，凹室是开单纯形的乘积。仿射 Weyl 群 (W_a(R)) 在凹室集合上简单传递作用。如果 (C) 是一个凹室，(C) 是 (W_a(R)) 的一个基本域。设 (a_1, \cdots, a_q) 是 (W_a(R)) 中对应于 (C) 的壁的反射，(m_{ij}) 是 (a_i a_j) 的阶，则 (W_a(R)) 由生成元 (a_i) 和关系 ((a_i a_j)^{m_{ij}} = 1) 定义。
对称代数与不变量 ：设 (S) 是 (V) 的对称代数，(S^W) 是由 (W = W(R)) 不变的元素构成的子代数，(g) 是 (W) 的阶，(l = \dim V)。存在齐次、代数独立的元素 (I_1, I_2, \cdots, I_l) 生成 (S^W)，(S^W) - 模 (S) 有一个由 (g) 个齐次元素构成的基。设 (a) 是 (S) 中由 (S^W) 中次数大于 0 的齐次元素生成的理想，则 (W) 在 (S/a) 上的表示（由 (W) 在 (S) 上的表示通过取商诱导）同构于 (W) 在 (\mathbb{R}) 上的正则表示。
指数与 Coxeter 变换 ：设 (C) 是 (R) 的一个腔室，({\alpha_1, \cdots, \alpha_l}) 是对应的基，(e = s_1 s_2 \cdots s_l) 称为 (R) 的 Coxeter 变换，其共轭类与 (C) 和基的编号无关。(e) 的阶 (h) 称为 (R) 的 Coxeter 数，(e) 的特征值形式为 (\exp(2\pi i \frac{m_j}{h}))，其中整数 (m_1, m_2, \cdots, m_l)（称为 (R) 的指数）满足 (1 \leq m_1 \leq m_2 \leq \cdots \leq m_l \leq h - 1)。如果 (R) 是不可约的，有 (m_1 = 1)，(m_l = h - 1)，(m_j + m_{l + 1 - j} = h)（(1 \leq j \leq l)），(m_1 + m_2 + \cdots + m_l = \frac{1}{2}hl = \frac{1}{2} \text{card}(R))。每个与 (h) 互质的 (m \in {1, 2, \cdots, h - 1}) 恰好等于某个 (m_j)。指数 (m_1 + 1, m_2 + 1, \cdots, m_l + 1) 与前面提到的 (k_1, k_2, \cdots, k_l) 按顺序一致。如果 (h) 是偶数，(e^{h/2}) 将 (C) 变换到 (-C)，(-1 \in W) 当且仅当 (W) 的指数都是奇数，此时 (h) 是偶数且 (e^{h/2} = -1)。

4. 总结

通过对不同类型根系系统的详细分析以及对根系系统一般性质的探讨，我们可以看到根系系统具有丰富的结构和性质。不同类型的根系系统在向量空间、根的形式、基、正根、Coxeter 数、基本权重等方面都有各自的特点。而根系系统的一般性质则为我们提供了统一的框架来理解和研究这些不同类型的根系系统，包括根之间的关系、腔室、基、Cartan 矩阵、Weyl 群等概念。这些性质在李代数、表示论等领域有着重要的应用，为进一步的研究和应用提供了坚实的基础。

以下是一个简单的 mermaid 流程图，展示根系系统的分类和一些基本性质的关系：

graph LR
    A[根系系统] --> B[约化根系系统]
    B --> C[可约根系系统]
    B --> D[不可约根系系统]
    D --> E[类型 \(D_l\)]
    D --> F[类型 \(E_6\)]
    D --> G[类型 \(E_7\)]
    D --> H[类型 \(E_8\)]
    D --> I[类型 \(F_4\)]
    D --> J[类型 \(G_2\)]
    B --> K[基]
    B --> L[正根与负根]
    B --> M[Weyl 群]
    B --> N[Cartan 矩阵]
    B --> O[Coxeter 数]
    B --> P[基本权重]

这个流程图展示了根系系统的分类，包括可约和不可约根系系统，以及不同类型的不可约根系系统。同时，也展示了根系系统的一些基本性质，如基、正根与负根、Weyl 群、Cartan 矩阵、Coxeter 数和基本权重等。这些性质相互关联，共同构成了根系系统的丰富结构。

根系系统的主要性质解析

5. 不同类型根系系统的比较

为了更清晰地对比不同类型的根系系统，我们可以通过表格的形式呈现它们的关键参数。
| 类型 | 向量空间 | 根的数量 | Coxeter 数 | 最高根表达式 | 基本权重特点 | 连接指标 | 指数 | Weyl 群阶 |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| (D_l) | (\mathbb{R}^l) | (2l(l - 1)) | (2l - 2) | (\epsilon_1 + \epsilon_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + 2\alpha_{l - 2} + \alpha_{l - 1} + \alpha_l) | 如 (w_i = \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_i)（(1 \leq i \leq l - 2)）等 | 4 | (1, 3, 5, \cdots, 2l - 3, 2l - 1) | (2^{l - 1}l!) |
| (E_6) | (\mathbb{R}^8) 的子空间 | 72 | 12 | (\frac{1}{2}(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4 + \epsilon_5 - \epsilon_6 - \epsilon_7 + \epsilon_8) = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 2\alpha_3 + 3\alpha_4 + 2\alpha_5 + \alpha_6 = w_2) | 如 (w_1 = \frac{2}{3}(\epsilon_8 - \epsilon_7 - \epsilon_6) = \frac{2}{3}(4\alpha_1 + 3\alpha_2 + 5\alpha_3 + 6\alpha_4 + 8\alpha_5 + 2\alpha_6)) 等 | 3 | (1, 4, 5, 7, 8, 11) | (2^7 \cdot 3^4 \cdot 5) |
| (E_7) | (\mathbb{R}^8) 中与 (\epsilon_7 + \epsilon_8) 正交的超平面 | 126 | 18 | 有相应表达式 | 各自有表达式 | 2 | (1, 5, 7, 9, 11, 13, 17) | (2^{10} \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7) |
| (E_8) | - | 240 | 30 | (\epsilon_7 + \epsilon_8 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 4\alpha_3 + 6\alpha_4 + 5\alpha_5 + 4\alpha_6 + 3\alpha_7 + 2\alpha_8 = w_8) | 有相应表达式 | 1 | (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) | (2^{14} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7) |
| (F_4) | (\mathbb{R}^4) | 48 | 12 | (\epsilon_1 + \epsilon_2 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + 4\alpha_3 + 2\alpha_4 = w_4) | 有相应表达式 | 1 | (1, 5, 7, 11) | - |
| (G_2) | (\mathbb{R}^3) 中方程为 (\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 0) 的超平面 | 12 | 6 | (-\epsilon_1 - \epsilon_2 + 2\epsilon_3 = 3\alpha_1 + 2\alpha_2 = w_2) | 有相应表达式 | 1 | (1, 5) | 12 |

从表格中可以看出，不同类型的根系系统在各个参数上存在明显差异。例如，根的数量、Coxeter 数、指数等都各不相同，这些差异反映了它们在结构和性质上的独特性。

6. 根系系统性质的应用示例

在实际应用中，根系系统的性质可以帮助我们解决很多问题。以下是一些具体的应用示例：

6.1 李代数表示论中的应用

在李代数表示论中，根系系统的基、正根和基本权重等概念起着关键作用。例如，通过根系系统的基可以构造李代数的生成元，进而研究李代数的表示。正根和负根的划分有助于确定表示的最高权向量和最低权向量，从而对表示进行分类。基本权重则可以用来描述表示的特征，例如表示的维数等。

具体步骤如下：
1. 确定根系系统的基 ：根据给定的根系系统类型，找到其基 ({\alpha_1, \cdots, \alpha_l})。
2. 构造李代数的生成元 ：利用基元素构造李代数的生成元 (X_{\alpha_i}) 和 (H_{\alpha_i})。
3. 确定正根和负根集合 ：根据腔室 (C) 确定正根集合 (R^+(C)) 和负根集合 (-R^+(C))。
4. 寻找最高权向量和最低权向量 ：在表示空间中，找到满足特定条件的最高权向量和最低权向量。
5. 计算表示的特征 ：利用基本权重计算表示的维数等特征。

6.2 晶体学中的应用

在晶体学中，根系系统可以用来描述晶体的对称性。晶体的原子排列具有一定的对称性，这种对称性可以通过根系系统的 Weyl 群来表示。Weyl 群的元素对应着晶体的对称变换，如旋转、反射等。通过研究 Weyl 群，可以了解晶体的对称性质，进而研究晶体的物理性质，如光学性质、电学性质等。

具体步骤如下：
1. 确定晶体对应的根系系统 ：根据晶体的结构和对称性，确定其对应的根系系统类型。
2. 计算 Weyl 群 ：根据根系系统的定义，计算其 Weyl 群 (W(R))。
3. 分析 Weyl 群的元素 ：研究 Weyl 群的元素，确定晶体的对称变换。
4. 研究晶体的物理性质 ：根据晶体的对称性质，研究其物理性质。

7. 根系系统性质的深入探讨

7.1 根链的进一步性质

根链是根系系统中的一个重要概念，它反映了根之间的关系。除了前面提到的根链的长度和起点终点等性质外，根链还具有一些其他的性质。

例如，根链的长度与根之间的夹角和长度比有关。当两个根 (\alpha) 和 (\beta) 的夹角和长度比确定时，根链的长度也就确定了。此外，根链在 Weyl 群的作用下具有不变性，即 (s_{\alpha}(S) = S)，这表明根链是 Weyl 群作用下的一个不变子结构。

7.2 腔室和凹室的几何性质

腔室和凹室是根系系统中的几何概念，它们具有一些有趣的几何性质。腔室是 (V - X) 的连通分量，是开单纯形锥，这意味着腔室具有良好的几何形状。凹室是 (V^* - E) 的连通分量，当根系系统是不可约时，凹室是开单纯形，一般情况下是开单纯形的乘积。

腔室和凹室的几何性质在研究根系系统的拓扑结构和几何结构中起着重要作用。例如，通过研究腔室和凹室的边界，可以了解根系系统的边界结构；通过研究腔室和凹室的体积，可以了解根系系统的大小和规模。

8. 总结与展望

本文详细介绍了不同类型的根系系统及其一般性质，包括根系系统的定义、相关群、可约性、标量积、根之间的关系、根链、腔室、基、Cartan 矩阵等。通过表格和流程图等形式，对不同类型的根系系统进行了比较和分析，展示了它们的特点和差异。同时，还介绍了根系系统性质在李代数表示论和晶体学等领域的应用示例，说明了根系系统在实际应用中的重要性。

未来的研究可以从以下几个方面展开：
1. 更深入的理论研究 ：进一步研究根系系统的性质，例如根系系统的同调性质、上同调性质等，以揭示其更深刻的数学结构。
2. 应用拓展 ：探索根系系统在更多领域的应用，如量子物理、计算机科学等，为这些领域的研究提供新的方法和工具。
3. 数值计算 ：开发高效的数值计算方法，用于计算根系系统的各种参数和性质，提高计算效率和精度。

以下是一个 mermaid 流程图，展示根系系统性质的应用和未来研究方向的关系：

graph LR
    A[根系系统性质] --> B[李代数表示论应用]
    A --> C[晶体学应用]
    A --> D[更深入理论研究]
    A --> E[应用拓展]
    A --> F[数值计算]
    B --> G[表示分类]
    B --> H[计算表示特征]
    C --> I[研究晶体对称性]
    C --> J[研究晶体物理性质]
    D --> K[同调性质研究]
    D --> L[上同调性质研究]
    E --> M[量子物理应用]
    E --> N[计算机科学应用]
    F --> O[高效计算方法开发]
    F --> P[提高计算精度]

这个流程图展示了根系系统性质在不同领域的应用，以及未来的研究方向。这些应用和研究方向相互关联，共同推动着根系系统的研究和发展。