23、根系分类与相关图论结构

根系分类与相关图论结构

1. 引言

在数学的研究中，根系的分类是一个重要的课题。它在多个领域，如李群、李代数等都有着广泛的应用。本文将详细介绍根系的分类方法，以及与之相关的Dynkin图、仿射Weyl群和完备Dynkin图等重要概念。

2. 根系分类的基础

在开始讨论根系分类之前，我们先来看一些基础的内容。对于某些形式的表达式，如$C_1 + (2 + (1 + (1 - (16 - (2(1 - 2(\cos r)^6(1 ))))$等，经过一系列的化简和分析，我们可以得到一些重要的结论。例如，当化简得到$7 - 3\sqrt{6} > 0$时，相应的形式是正的非退化的，对应的Coxeter群是有限的。对于类型$A_l$、$B_l$、$\cdots$、$G_2$，我们将在后续构造具有相应群作为Weyl群的根系。

3. Dynkin图

3.1 赋范图的定义

我们称一个赋范图为一个对$(\Gamma, f)$，它具有以下性质：
- $\Gamma$是一个图，称为$(\Gamma, f)$的基础图。
- 若$E$表示使得${i, j}$是$\Gamma$的一条边的对$(i, j)$的集合，$f$是从$E$到$\mathbb{R}$的一个映射，使得对于所有的$(i, j) \in E$，有$f(i, j)f(j, i) = 1$。

赋范图之间存在明显的同构概念。

3.2 Dynkin图的构造

设$R$是实向量空间$V$中的一个约化根系。我们将为它关联一个赋范图$(X, f)$，称为$R$的Dynkin图。$X$的顶点是$W(R