20、根系与仿射外尔群相关知识解读

根系与仿射外尔群相关知识解读

1. 根系基础概念

在根系理论中，有一些重要的群和指标。对于根系 $R$，$P(R)/Q(R)$ 和 $P(K)/Q(K)$ 是在 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上对偶的有限群，它们是同构的，这两个群的公共阶被称为 $R$（或 $K$）的连接指标。若 $R$ 是根系 $R_i$ 的直和，那么群 $Q(R)$（或 $P(R)$）可典范地等同于 $Q(R_i)$（或 $P(R_i)$）的直和。

设 $R_1$ 是 $R$ 的子集，$Q_1$ 是由 $R_1$ 生成的 $Q(R)$ 的子群，$W_1$ 是由 $s_{\alpha}$（$\alpha \in R_1$）生成的 $W(R)$ 的子群。若 $p \in P(R)$ 且 $w \in W_1$，则 $p - w(p) \in Q_1$。群 $A(R)$ 使 $P(R)$ 和 $Q(R)$ 保持不变，因此它作用在商群 $P(R)/Q(R)$ 上，而 $W(R)$ 对 $P(R)/Q(R)$ 的作用是平凡的，商群 $A(R)/W(R)$ 则典范地作用在 $P(R)/Q(R)$ 上。

2. 基本权重与优势权重

假设 $R$ 是约化的，设 $C$ 是 $R$ 的一个腔，$B$ 是对应的 $R$ 的基。由于 $R$ 是约化的，$B^{-} = { \alpha^{-} } {\alpha \in B}$ 是 $K$ 的一个基，$W$ 的对偶基 $(\omega {\alpha})_{\alpha \in B}$ 是权重群的一个基，其元素被称为基本权重（相对于 $B$ 或 $C$）。若 $B$ 的元素记为 $(\alpha_1, \cdots,