19、根系相关理论详解

根系相关理论详解

1. 根系相关推论与证明

1.1 推论 3

• 内容 ：
  • a) 设 (a \in R)，则 (Y(a)) 是 (B(C)) 的一个连通子集。
  • b) 设 (Y) 是 (B(C)) 的非空连通子集，则 (\sum_{\beta \in Y} \beta) 属于 (R)。
• 证明 ：
  • a) 的证明 ：可假设 (a) 为正，通过对 (Card(Y(a))) 进行归纳证明。若 (Card(Y(a)) = 1)，断言显然成立。由命题 19 可知，存在 (\beta \in B(C)) 使得 (a - \beta \in R)。设 (p) 是满足 (\gamma = a - p\beta \in R) 的最大非负整数，因为 (\gamma - \beta \notin R) 且 (\gamma + p\beta \in R)，所以 ((\gamma|\beta) \neq 0)，即 (\beta) 与 (Y(\gamma)) 中至少一个元素相连。又因为 (Y(a) = Y(\gamma) \cup {\beta})，且由归纳假设 (Y(\gamma)) 是连通的，所以 (Y(a)) 是连通的。
  • b) 的证明 ：对 (Card(Y)) 进行归纳。当 (Card(Y) \leq 1) 时，情况显然。假设 (Card(Y) \geq 2)，由于 (X) 是森林，(Y) 是