17、根系理论：定义、性质与关系深度解析

根系理论：定义、性质与关系深度解析

1. 根系的定义

在数学领域中，根系的研究具有重要地位。首先，设 (k) 为特征为零的域，从第 3 部分起，我们假定 (k = \mathbb{R})。

1.1 引理 1

设 (V) 是 (k) 上的向量空间，(R) 是 (V) 的有限子集且生成 (V)。对于任意非零的 (\alpha \in R)，(V) 中至多存在一个反射 (s)，使得 (s(\alpha)=-\alpha) 且 (s(R) = R)。
证明过程如下：设 (G) 是使 (R) 稳定的 (V) 的自同构群。因为 (R) 生成 (V)，所以 (G) 同构于 (R) 的对称群的一个子群，从而 (G) 是有限群。设 (s, s’) 是 (V) 的反射，满足 (s(\alpha)=s’(\alpha)=-\alpha)，(s(R) = R)，(s’(R) = R)。则 (t = ss’) 属于 (G)，因而 (t) 的阶为有限 (m)。另一方面，(t(\alpha)=\alpha) 且对于所有 (x \in V) 有 (t(x) = x \bmod k\alpha)。所以存在 (V) 上的线性形式 (f)，使得对于所有 (x \in V) 有 (t(x) = x + f(x)\alpha) 且 (f(\alpha)=0)。通过对 (n) 进行归纳可得，对于所有 (x \in V) 有 (t^n(x) = x + nf(x)\alpha)。取 (n = m)，可知对于所有 (x \in V) 有 (mf(x) = 0)，所以 (f = 0)，(t = 1) 且 (s = s’)。

1.2 定义 1

设 (V) 是 (k) 上的向