16、反射生成群相关问题探讨

反射生成群相关问题探讨

1. 群与子群相关性质

在研究反射生成群的过程中，有一系列重要的性质和问题需要探讨。首先，要证明 (W) 是 (GA) 的有限指标子群。对于练习 15 中的其他图，也需要证明类似的结果，不过要注意，场 (Q(\sqrt{5})) 有时会被 (Q(\sqrt{2})) 取代，练习 18 所处理的图以及特定的图除外。

对于集合 (S) 中满足 (m(s, s’) = \infty) 的每一个子集 ({ s, s’})，设 (r(s, s’)) 是一个大于等于 (-1) 的实数。为 (E) 配备双线性形式 (B_r)，其定义如下：
- 当 (m(s, s’) \neq \infty) 时，(B_r(e_s, e_{s’}) = B_M(e_s, e_{s’}) = -\cos(\frac{\pi}{m(s, s’)}))；
- 当 (m(s, s’) = \infty) 时，(B_r(e_s, e_{s’}) = r(s, s’))。

与 (B_M) 的情况类似，定义以向量 (e_s) 为向量的反射 (\sigma_s)，使得形式 (B_r) 保持不变。
- 要证明存在唯一的同态 (\sigma_r : W \to GL(E))，使得 (\sigma_r(\sigma_s)) 等于上述定义的反射 (\sigma_s)。
- 还要证明命题 4、定理 1 及其推论和引理 1 对于 (\sigma_r) 仍然成立。

2. 有限二面体群的对称不变量代数

需要确定有限二面体群（对于其二维的典范表示）的对称不变量代数。

3. 主环上的有限子群相关问题