15、线性表示补充及相关练习解读

线性表示补充及相关练习解读

1. 重要命题介绍

在研究线性表示的过程中，有几个关键的命题值得我们深入探讨。

命题 1

设 (K) 是一个交换域，(A) 是一个 (K -) 代数，(V) 和 (W) 是两个左 (A -) 模，并且它们是 (K) 上的有限维向量空间。若存在 (K) 的一个扩张 (L)，使得 ((A\otimes_{K}L)) - 模 (V\otimes_{K}L) 和 (W\otimes_{K}L) 同构，那么 (A -) 模 (V) 和 (W) 同构。
- 情况 a：(L) 是 (K) 的有限次扩张
假设 (L) 是 (K) 的有限次扩张，次数为 (n)。因为 (V\otimes_{K}L) 和 (W\otimes_{K}L) 作为 ((A\otimes_{K}L)) - 模是同构的，所以它们作为 (A -) 模也是同构的。又因为 (V) 和 (W) 是有限长度的 (A -) 模，根据代数知识，(V)（或 (W)）是一族子模 ((M_{i}) {1\leq i\leq p})（或 ((N {j}) {1\leq j\leq q})）的直和，其中 (M {i})（或 (N_{j})）是不可分解的，且不同指标的 (M_{i})（或 (N_{j})）不同构。那么 (V^{n})（或 (W^{n})）是 (M_{i}^{n})（或 (N_{j}^{n})）的直和，由此可推出 (p = q)，并且在对 (N_{j}) 进行适当置换后，(M_{i}) 与 (N_{i}) 同构，且 (n_{M_{i}}=n_{N_{i}}) 对 (1\leq i\leq p) 成立，从而