14、对称代数中的不变量与Coxeter变换

对称代数中的不变量与Coxeter变换

1. 对称代数中的不变量

1.1 关键等式推导

在对称代数的研究中，有如下等式推导：
[Q(1) = \sum_{i = 1}^{t} (k_i - 1)k_i \prod_{j = 1}^{i} k_j = (\prod_{j = 1}^{t} k_j) (\sum_{i = 1}^{t} k_i - 1)]
从另一个角度，结合相关条件可得：
[Q(1) = \prod_{j = 1}^{t} k_j \sum_{g \in H} \frac{1}{1 - \lambda(g)}]
进而得到：
[\sum_{i = 1}^{t} k_i - 1 = \sum_{g \in H} \frac{1}{1 - \lambda(g)}]
这里的(G)是一个有限群，(H)是(G)中一些特殊元素构成的集合，(\lambda(g))是与(g)相关的特征值。对于(G)中使给定超平面上的点保持固定的元素，它们会使该超平面的一个补线保持稳定，从而构成(G)的一个循环子群(G’)。设(G’)的阶为(t)，(g \in G’)时(\lambda(g))的值为(\theta, \theta^2, \cdots, \theta^{t - 1})，其中(\theta)是(t)次单位原根。

1.2 -1 与特征度的关系

假设(K)的特征不为(2)，有如下命题：(-1 \in G)当且仅当(R)的特征度(k_1, \cdots, k_t)都是偶数。设(f)是代数(S)的自同构，它扩展了(V)的自同构(-1)，即(f(z) = (-1)^{\text{deg} z} z)，对于(S)中的