13、反射生成群中的对称代数不变量解析

反射生成群中的对称代数不变量解析

1. 分次代数的庞加莱级数

在数学领域，我们首先引入一些基本概念。设 $K$ 是一个含单位元且不为零的交换环，$M$ 是一个 $Z$ 型的分次 $K$ - 模，$M_n$ 表示 $M$ 中次数为 $n$ 的齐次元素集合。假设每个 $M_n$ 都是自由且有限型的，那么对于所有的 $n$，$rk_K(M_n)$ 是有定义的。

定义 1 ：若存在 $n_0 \in Z$，使得当 $n \leq n_0$ 时，$M_n = 0$，则形式级数 $\sum_{n\geq n_0} rk_K(M_n)T^n$（它是 $Q((T))$ 中的一个元素）被称为 $M$ 的庞加莱级数，记为 $P_M(T)$。

设 $M’$ 是另一个 $Z$ 型的分次 $K$ - 模，$(M_n’) {n\in Z}$ 是它的分次。假设当 $n$ 小于某个数时，$M_n’$ 为零。这里有一些重要的性质：
- 若 $M \otimes_K M’$ 赋予总分次，会有相应的关系。
- 命题 1 ：设 $S = \bigoplus {n>0} S_n$ 是一个交换的分次 $K$ - 代数，其生成元系统 $(x_1, x_2, \cdots, x_m)$ 由齐次且代数独立的元素组成。设 $d_i$ 是 $x_i$ 的次数，且假设对所有的 $i$ 都有 $d_i > 0$。那么 $S_n$ 在 $K$ 上是自由且有限秩的，并且 $P_S(T)=\prod_{i=1}^{m}(1 - T^{d_i})^{-1}$。这是因为 $S$ 可以与张量积 $K[x_1] \otim