8、反射生成的群：超平面、反射与旋转的深入剖析

反射生成的群：超平面、反射与旋转的深入剖析

1. 超平面、腔室与面的基本概念

1.1 命题10的证明

设 $C$ 为一个腔室，$H$ 和 $H’$ 是 $C$ 的两个壁，$L$ 是一个与 $D_H(C) \cap D_{H’}(C)$ 相交的超平面。假设 $H$ 与 $H’$ 不同，且满足以下条件之一：
- a) 超平面 $H$、$H’$ 和 $L$ 平行。
- b) 超平面 $H$ 和 $H’$ 不平行，且 $H \cap H’ \subseteq L$。

则 $L$ 与 $C$ 相交。

证明步骤如下：
1. 设 $b$（分别地，$b’$）是 $C$ 的以 $H$（分别地，$H’$）为支撑的面上的一点，显然线段 $[bb’]$ 上除 $b$ 和 $b’$ 之外的每一点都属于 $C$。
2. 引入一个仿射函数 $f$，它在 $H$ 的每一点处取值为 0，并且对于 $D_H(C)$ 中的 $x$ 有 $f(x) > 0$；类似地，引入一个关于 $H’$ 具有类似性质的仿射函数 $f’$。
3. 通过应用引理 2，可以找到数 $\lambda$ 和 $\lambda’$ 以及一个仿射函数 $g$，满足引理中所述的性质。
4. 因为 $(\lambda, \lambda’) \neq (0, 0)$，并且对于 $L \cap D_H(C) \cap D_{H’}(C)$ 中的每一点 $x$，有 $f(x) > 0$，$f’(x) > 0$ 且 $\lambda f(x) + \lambda’ f’(x) = 0$，所以 $\frac{\lambda}{\lambda’} < 0$