7、由反射生成的群：超平面、腔室与面的深入探究

由反射生成的群：超平面、腔室与面的深入探究

1. 基本概念与符号

在数学的特定研究领域中，我们首先定义一些基本概念。设 (E) 为有限维 (d) 的实仿射空间，(T) 是 (E) 的平移空间。对于 (E) 中的两点 (a) 和 (b)，([ab]) 表示以 (a) 和 (b) 为端点的闭线段，(]ab[) 表示开线段，(]ab]) 表示在 (a) 处开、在 (b) 处闭的线段。

(T) 具有唯一的分离拓扑向量空间拓扑，它同构于 (\mathbb{R}^d)。(E) 具有唯一的拓扑，使得对于任意 (e \in E)，从 (T) 到 (E) 的映射 (t \to e + t) 是同胚。

我们用 (H) 表示 (E) 的局部有限超平面集。对于 (E) 中的超平面 (H)，(E - H) 有两个连通分支，称为由 (H) 界定的开半空间，它们的闭包称为由 (H) 界定的闭半空间。

设 (x, y \in E)，若 (x) 和 (y) 包含在由 (H) 界定的同一个开半空间中，或者等价地，以 (x) 和 (y) 为端点的闭线段不与 (H) 相交，则称 (x) 和 (y) 严格位于 (H) 的同一侧；若 (x) 属于由 (H) 界定的一个开半空间，而 (y) 属于另一个开半空间，则称 (x) 和 (y) 位于 (H) 的两侧。

设 (A) 是 (E) 的非空连通子集，对于不与 (A) 相交的超平面 (H)，(D_H(A)) 表示由 (H) 界定且包含 (A) 的唯一开半空间。若 (\mathfrak{M}) 是 (E) 的一组超平面，且它们都不与 (A) 相交，则定义：
[D_{\mathfrak{M}}(A) = \bigcap_{H \in