6、考克斯特群与蒂茨系统相关知识解析

考克斯特群与蒂茨系统相关知识解析

1. 蒂茨系统的基本定义与性质

蒂茨系统是群论中的重要概念，设 (G) 为群，(B) 和 (N) 是 (G) 的子群，(S) 是 (W = N/(B \cap N)) 的子集。对于 (w \in W)，定义 (C(w) = BwB)。当满足一定条件时，可判断是否为蒂茨系统。
- 条件判断 ：若满足定义中的条件 (T1) 和 (T2)，且对于 (s \in S) 和 (w \in W)，(C(s).C(w) = C(sw)) 和 (C(s).C(sw) = C(w)) 至少有一个成立，同时 (B \cup C(s)) 是 (G) 的子群，那么条件 (T3) 满足。若 (B) 在 (B \cup C(s)) 中的指数 (\geq 3)，则 ((G, B, N, S)) 是蒂茨系统。
- 商群与同构 ：设 (Z) 是包含于 (B) 的 (G) 的正规子群，(B’) 和 (N’) 是 (B) 和 (N) 在 (G’ = G / Z) 中的典范像。从 (N) 到 (N’) 的典范映射定义了从 (W) 到 (W’ = N’ /(B’ \cap N’)) 的同构，(S’) 是 (S) 在该同构下的像，此时 ((G’, B’, N’, S’)) 是蒂茨系统当且仅当 ((G, B, N, S)) 是蒂茨系统。

2. 蒂茨子群的性质

若 (B) 是 (G) 的子群，((C(w))_{w \in W}) 是 (G) 关于 (B) 的双陪集族，当存在 (W) 的子集 (S) 满足以下条件时，(B) 称为 (G) 的蒂茨子群：
- (S) 中元素 (s) 对应的