4、蒂茨系统与图论基础：概念、性质与应用

蒂茨系统与图论基础：概念、性质与应用

1. 包含B的G的子群

对于集合S的任意子集X，我们用$W_X$表示由X生成的W的子群，用$G_X$表示双陪集$C(w)$（其中$w \in W_X$）的并集$BW_XB$。特别地，$G_0 = B$且$G_S = G$。

定理3 ：
- a) 对于S的任意子集X，集合$G_X$是G的子群，由$\bigcup_{s \in X} C(s)$生成。
- b) 映射$X \to G_X$是从$\mathcal{P}(S)$（S的幂集）到包含B的G的子群集合的双射。
- c) 设${X_i} {i \in I}$是X的子集族。若$X = \bigcap {i \in I} X_i$，则$G_X = \bigcap_{i \in I} G_{X_i}$。
- d) 设X和Y是S的两个子集。则$G_X \subseteq G_Y$（或$G_X = G_Y$）当且仅当$X \subseteq Y$（或$X = Y$）。

证明过程如下：
- 显然$G_X = (G_X)^{-1}$；根据第1节的引理1可知$G_X \cdot G_X \subseteq G_X$；再结合定理2的推论1，可推出a)。
- 映射$X \to G_X$的单射性可由$X \to W_X$的单射性（第1节，定理2）推出。反之，设H是包含B的G的子群。设U是$W$中使得$C(w) \subseteq H$的元素$w$的