3、考克斯特群与蒂茨系统相关知识解析

考克斯特群与蒂茨系统相关知识解析

考克斯特群子群

假设((W, S))是一个考克斯特系统，对于(S)的任意子集(X)，用(W_X)表示由(X)生成的(W)的子群。
- 命题 7 ：设(w \in W)，存在(S)的子集(S_w)，使得对于(w)的任意简约分解((s_1, \cdots, s_q))，都有({s_1, \cdots, s_q} = S_w)。
- 证明思路：记(M)为(S)的子集构成的幺半群，其合成法则为((A, B) \to A \cup B)，单位元为(\varnothing)。定义(f(s) = {s})，应用相关命题可得到从(W)到(M)的映射(g: w \to S_w)，使得(g(w) = f(s_1) \cup \cdots \cup f(s_q))，即(S_w = {s_1, \cdots, s_q})。
- 推论 1 ：对于(S)的任意子集(X)，(W)的子群(W_X)由满足(S_w \subseteq X)的元素(w \in W)组成。
- 证明思路：通过对(w)的长度进行归纳，结合相关性质证明集合(U = {w \in W | S_w \subseteq X})是(W)的子群，且(X \subseteq U \subseteq W_X)，从而得出(U = W_X)。
- 推论 2 ：对于(S)的任意子集(X)，有(W_X \cap S = X)。
- 证明思路：由推论 1 和(S_s = {s})（(s \in S)）可直接得出。
- 推论 3 ：集合(S)是(W)的